Question

【題目】我們已經(jīng)知道，有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形.其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角所對(duì)的邊叫斜邊（如圖①所示）.數(shù)學(xué)家已發(fā)現(xiàn)在一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方.如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是和，斜邊長(zhǎng)度是，那么可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：．

（1）在圖②，若，，則 ；

（2）觀察圖②，利用面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系，試說(shuō)明的正確性.其中兩個(gè)相同的直角三角形邊AE、EB在一條直線上；

（3）如圖③所示，折疊長(zhǎng)方形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的結(jié)論求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）12; (2)答案見(jiàn)解析;(3)5

【解析】

試題

（1）利用題中所給公式：，代入即可解出的值；

（2）先用“梯形面積計(jì)算公式”計(jì)算出圖②的面積，再分別計(jì)算圖②中三個(gè)三角形的面積并相加得到圖②的面積，利用兩次所求面積相等得到等式，把等式變形即可得到公式：；

（3）由矩形和折疊的性質(zhì)可得：AF=AD=BC=10，DC=AB=8，EF=DE；在Rt△ABF中，由題中所給結(jié)論可計(jì)算出BF的長(zhǎng)，從而可得FC的長(zhǎng)；設(shè)EF=，則DE=，EC=，這樣在Rt△EFC中，由題中所給結(jié)論可得關(guān)于的方程，解方程即可求得EF的長(zhǎng).

試題解析：

（1）∵，代入，

∴；

（2）∵圖①的面積＝＝，

圖①的面積＝S梯形ABCD＝＝，

∴ ＝，

∴ ,

即 .

（3）由四邊形ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可得，，，EF=DE，

由題意可得：在Rt△ABF中，，即，解得：，

又∵，

∴ ，

設(shè)，則， ，

∵在Rt△ECF中，，

∴，

解得 ，即.