Question

7．如圖所示，半徑均為1個單位長度的半圓O₁、O₂、O₃…組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發(fā)．沿這條曲線向右運動，速度為每秒$\frac{π}{6}$個單位長度，則第2015秒時，點P的坐標是（$\frac{1336+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的周長即點P運動的速度得出點P的運動周期為12s，由2015÷12═167…11知第2015秒時點P的坐標與第11秒時點P的坐標相同，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得點P₁₁的坐標，從而得出答案．

解答 解：根據(jù)題意知，半圓的周長為π，
點P運動兩個半圓所需時間為$\frac{2π}{\frac{π}{6}}$=12（s），
∴點P的運動周期為12s，
∵2015÷12═167…11，
∴第2015秒時點P的坐標與第11秒時點P的坐標相同，
如圖，

過點P₁₁作P₁₁Q⊥x軸于點Q，
由題意知O₂P₁₁=1，∠P₁₁O₂Q=30°，
∴O₂Q=O₂P₁₁sin∠P₁₁O₂Q=$\frac{1}{2}$，O₂Q=O₂P₁₁cos∠P₁₁O₂Q=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則第2015秒時，點P的坐標是（167×4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），即（$\frac{1336+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
故答案為：（$\frac{1336+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查點的坐標變化規(guī)律，根據(jù)圓的周長即點P運動的速度得出點P的運動周期為12s，從而得出第2015秒時點P的坐標與第11秒時點P的坐標相同是解題的關鍵．