Question

7．如圖所示，半徑均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓O₁、O₂、O₃…組成一條平滑的曲線，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)．沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，則第2015秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{1336+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的周長(zhǎng)即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度得出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)周期為12s，由2015÷12═167…11知第2015秒時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)與第11秒時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)相同，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得點(diǎn)P₁₁的坐標(biāo)，從而得出答案．

解答 解：根據(jù)題意知，半圓的周長(zhǎng)為π，
點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)兩個(gè)半圓所需時(shí)間為$\frac{2π}{\frac{π}{6}}$=12（s），
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)周期為12s，
∵2015÷12═167…11，
∴第2015秒時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)與第11秒時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)相同，
如圖，

過(guò)點(diǎn)P₁₁作P₁₁Q⊥x軸于點(diǎn)Q，
由題意知O₂P₁₁=1，∠P₁₁O₂Q=30°，
∴O₂Q=O₂P₁₁sin∠P₁₁O₂Q=$\frac{1}{2}$，O₂Q=O₂P₁₁cos∠P₁₁O₂Q=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則第2015秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（167×4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），即（$\frac{1336+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
故答案為：（$\frac{1336+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，根據(jù)圓的周長(zhǎng)即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度得出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)周期為12s，從而得出第2015秒時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)與第11秒時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)相同是解題的關(guān)鍵．