Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=OB=8，OD=1，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo) ；

(2)求直線CD的解析式；

(3)在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、D、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，4)；(2)直線CD的解析式是y=；(3)點(diǎn)F的坐標(biāo)是(11，4)，(5，-4)或(-3，4)．

【解析】

（1）由OA，OB的長(zhǎng)度可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由OD的長(zhǎng)度可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線CD的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，n），分AC為對(duì)角線、AD為對(duì)角線及CD為對(duì)角線三種情況，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

(1)∵OA=OB=8，點(diǎn)A在x軸正半軸，點(diǎn)B在y軸正半軸，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，8)．

又∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，4)．

(2)∵OD=1，點(diǎn)D在x軸的正半軸，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，0)．

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b(k≠0)，

將C(4，4)，D(1，0)代入y=kx+b，

得：，

解得：，

∴直線CD的解析式是y=．

(3)存在點(diǎn)F，使以A、C、D、F為點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m，n)．

分三種情況考慮，如圖所示：

①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，

∵A(8，0)，C(4，4)，D(1，0)，

∴，

解得：，

∴點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(11，4)；

②當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，

∵A(8，0)，C(4，4)，D(1，0)，

∴，

解得：，

∴點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(5，-4)；

③當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，

∵A(8，0)，C(4，4)，D(1，0)，

∴，

解得：，

∴點(diǎn)F3的坐標(biāo)為(-3，4)．

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)是(11，4)，(5，-4)或(-3，4)．