Question

【題目】已知關于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．
（1）試判斷原方程根的情況；
（2）若拋物線y=x2﹣（m﹣3）x﹣m與x軸交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）兩點，則A，B兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）

Answer 1

【答案】
（1）

解：△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，

∵（m﹣1）2≥0，

∴△=（m﹣1）2+8＞0，

∴原方程有兩個不等實數根

（2）

解：存在，由題意知x1，x2是原方程的兩根，

∴x1+x2=m﹣3，x1x2=﹣m．

∵AB=|x1﹣x2|，

∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2

=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，

∴當m=1時，AB2有最小值8，

∴AB有最小值，即AB==

【解析】（1）根據根的判別式，可得答案；
（2）根據根與系數的關系，可得A、B間的距離，根據二次函數的性質，可得答案．
本題主要考查了二次函數的綜合應用，涉及的知識點有：根的判別式判斷根的情況，根與系數的關系。