【題目】如圖1,△ABC是邊長為4cm的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA=6cm,點D從O點出發(fā),沿OM的方向以1cm/s的速度運動,當D不與點A重合時,將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE,連結DE.
(1)求證:△CDE是等邊三角形;
(2)如圖2,當6<t<10時,△BDE的周長是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周長;若不存在,請說明理由;
(3)如圖3,當點D在射線OM上運動時,是否存在以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
證明:∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等邊三角形;
(2)
解:存在,當6<t<10時,
由旋轉的性質得,BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,
由(1)知,△CDE是等邊三角形,
∴DE=CD,
∴C△DBE=CD+4,
由垂線段最短可知,當CD⊥AB時,△BDE的周長最小,
此時,CD=2 cm,
∴△BDE的最小周長=CD+4=2 +4;
(3)
解:存在,①∵當點D與點B重合時,D,B,E不能構成三角形,
∴當點D與點B重合時,不符合題意,
②當0≤t<6時,由旋轉可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,
∴∠BED=90°,
由(1)可知,△CDE是等邊三角形,
∴∠DEB=60°,
∴∠CEB=30°,
∵∠CEB=∠CDA,
∴∠CDA=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4,
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,
∴t=2÷1=2s;
③當6<t<10s時,由∠DBE=120°>90°,
∴此時不存在;
④當t>10s時,由旋轉的性質可知,∠DBE=60°,
又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,
而∠BDC>0°,
∴∠BDE>60°,
∴只能∠BDE=90°,
從而∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,
∴OD=14cm,
∴t=14÷1=14s,
綜上所述:當t=2或14s時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.
【解析】(1)由旋轉的性質得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到結論;(2)當6<t<10時,由旋轉的性質得到BE=AD,于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據等邊三角形的性質得到DE=CD,由垂線段最短得到當CD⊥AB時,△BDE的周長最小,于是得到結論;(3)存在,①當點D與點B重合時,D,B,E不能構成三角形,②當0≤t<6時,由旋轉的性質得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根據等邊三角形的性質得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2,于是得到t=2÷1=2s;③當6<t<10s時,此時不存在;④當t>10s時,由旋轉的性質得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到t=14÷1=14s.
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【題目】已知關于x的一元二次方程:x2﹣(m﹣3)x﹣m=0.
(1)試判斷原方程根的情況;
(2)若拋物線y=x2﹣(m﹣3)x﹣m與x軸交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)兩點,則A,B兩點間的距離是否存在最大或最小值?若存在,求出這個值;若不存在,請說明理由.(友情提示:AB=|x2﹣x1|)
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【題目】如圖所示,已知平行四邊形ABCD,對角線AC,BD相交于點O,∠OBC=∠OCB.
(1)求證:平行四邊形ABCD是矩形;
(2)請?zhí)砑右粋條件使矩形ABCD為正方形.
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【題目】某工廠有甲種原料130kg,乙種原料144kg.現用這兩種原料生產出A,B兩種產品共30件.已知生產每件A產品需甲種原料5kg,乙種原料4kg,且每件A產品可獲利700元;生產每件B產品需甲種原料3kg,乙種原料6kg,且每件B產品可獲利900元.設生產A產品x件(產品件數為整數件),根據以上信息解答下列問題:
(1)生產A,B兩種產品的方案有哪幾種;
(2)設生產這30件產品可獲利y元,寫出y關于x的函數解析式,寫出(1)中利潤最大的方案,并求出最大利潤.
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【題目】如圖,將直線y=﹣x沿y軸向下平移后的直線恰好經過點A(2,﹣4),且與y軸交于點B,在x軸上存在一點P使得PA+PB的值最小,則點P的坐標為 .
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【題目】如圖,用四條線段首尾相接連成一個框架,其中AB=12,BC=14,CD=18,DA=24,則A、B、C、D任意兩點之間的最長距離為( )
A.24cm
B.26cm
C.32cm
D.36cm
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=70°,AB的垂直平分線交對角線AC于點F,垂足為E,連接DF,則∠CDF等于( )
A.55°
B.65°
C.75°
D.85°
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