Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點， 過C點的切線與AB的延長線交于點D，CE∥AB交⊙O于點E ，連結(jié)AC、BC、AE.

（1）求證：①∠DCB=∠CAB；

②；

（2）作CG⊥AB于點G.若（k＞１），求的值（用含k的式子表示）.

Answer 1

（1）證明：①如圖10，

解法一：作直徑CF，連結(jié)BF.

∴ ∠CBF=90°，

則 ∠CAB=∠F =90°－∠1.

∵ CD切⊙O于C，

∴ OC⊥CD ，

則 ∠BCD =90°－∠1.

∴ ∠BCD =∠CAB .

解法二：如圖11，

連結(jié)OC.

∵ AB是直徑，

∴ ∠ACB=90°.

則∠2 =90°－∠OCB.

∵ CD切⊙O于C，

∴ OC⊥CD .

則 ∠BCD =90°－∠OCB.

∴ ∠BCD =∠2.

∵ OA=OC，

∴ ∠2 =∠CAB .

∴ ∠BCD =∠CAB .

② ∵ EC∥AB ，∠BCD =∠3，

∴ ∠4 =∠3=∠BCD.

∵ ∠CBD＋∠ABC=180°，

∵ ∠AEC＋∠ABC=180°，

∴ ∠CBD=∠AEC .

∴ △ACE∽△DCB ．

∴ ．

∴ ．

（2）連結(jié)EB，交CG于點H，

∵ CG⊥AB于點G， ∠ACB=90°.

∴ ∠3=∠BCG.

∵ ∠3 =∠4.

∴    =

∴ ∠3=∠EBG .

∴ ∠BCG=∠EBG .

∵ （k＞１），

∴ 在Rt△HGB中，.

在Rt△BCG中，.

設(shè)HG =a，則BG= ka，CG= k²a. CH=CG－HG=( k²－1)a.

∵ EC∥AB ，

∴ △ECH∽△BGH ．

∴ ．

解法二： 如圖10-2，作直徑FC，連結(jié)FB、EF，則∠CEF=90°.

∵CG⊥AB于點G，

在Rt△ACG中，

設(shè)CG =a，則AG= ka，，CF=AB=AG＋BF=（k）a.

∵ EC∥AB ， ∠CEF=90°，

∴直徑AB⊥EF.

∴EF=2CG= a.

EC=）=( k)a.

∴.

解法三：如圖11-2，作EP⊥AB于點P，

在Rt△ACG中，

設(shè)CG =a，則AG= ka，，

可證△AEP≌△BCG，則有AP=.

EC=AG-AP=（k）a.

∴.