【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣3.0)、C(0,4),點(diǎn)B在拋物線上,CB∥x軸,且AB平分∠CAO.
(1)求拋物線的解析式a,b,c;
(2)線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作y軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)Q,求線段PQ的最大值;
(3)拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M,使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形?如果存在求出點(diǎn)M坐標(biāo);如果不存在,說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4;
(2)線段PQ的最大值為;
(3)符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,9)和(,﹣11).
【解析】試題分析:(1)如圖1,易證BC=AC,從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo),然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式;
(2)如圖2,運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,從而可以用t的代數(shù)式表示出PQ的長,然后利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)就可解決問題;
(3)由于AB為直角邊,分別以∠BAM=90°(如圖3)和∠ABM=90°(如圖4)進(jìn)行討論,通過三角形相似建立等量關(guān)系,就可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
試題解析:(1)如圖1,
∵A(﹣3,0),C(0,4),
∴OA=3,OC=4.
∵∠AOC=90°,
∴AC=5.
∵BC∥AO,AB平分∠CAO,
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB.
∴BC=AC.
∴BC=5.
∵BC∥AO,BC=5,OC=4,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,4).
∵A(﹣3.0)、C(0,4)、B(5,4)在拋物線y=ax2+bx+c上,
∴
解得:
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4;
(2)如圖2,
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,
∵A(﹣3.0)、B(5,4)在直線AB上,
∴
解得:
∴直線AB的解析式為y=x+.
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(﹣3≤t≤5),則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也為t.
∴yP=t+,yQ=﹣t2+t+4.
∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣(t+)
=﹣t2+t+4﹣t﹣
=﹣t2++
=﹣(t2﹣2t﹣15)
=﹣ [(t﹣1)2﹣16]
=﹣(t﹣1)2+.
∵﹣<0,﹣3≤1≤5,
∴當(dāng)t=1時(shí),PQ取到最大值,最大值為.
∴線段PQ的最大值為;
(3)①當(dāng)∠BAM=90°時(shí),如圖3所示.
拋物線的對稱軸為x=﹣=﹣=.
∴xH=xG=xM=.
∴yG=×+=.
∴GH=.
∵∠GHA=∠GAM=90°,
∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM.
∵∠AHG=∠MHA=90°,∠MAH=∠AGM,
∴△AHG∽△MHA.
∴.
∴.
解得:MH=11.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,﹣11).
②當(dāng)∠ABM=90°時(shí),如圖4所示.
∵∠BDG=90°,BD=5﹣=,DG=4﹣=,
∴BG=.
同理:AG=.
∵∠AGH=∠MGB,∠AHG=∠MBG=90°,
∴△AGH∽△MGB.
∴.
∴.
解得:MG=.
∴MH=MG+GH=+=9.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,9).
綜上所述:符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,9)和(,﹣11).
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(1)該商家購進(jìn)的第一批襯衫是多少件?
(2)若兩批襯衫按相同的標(biāo)價(jià)銷售,最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出,如果兩批襯衫全部售完利潤率不低于25%(不考慮其他因素),那么每件襯衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元?
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【題目】畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對”數(shù)”與”形”的巧妙結(jié)合作了如下研究:
名稱及圖形 | 三角形數(shù) | 正方形數(shù) | 五邊形數(shù) | 六邊形數(shù) |
第一層幾何點(diǎn)數(shù) | 1 | 1 | 1 | 1 |
第二層幾何點(diǎn)數(shù) | 2 | 3 | 4 | 5 |
第三層幾何點(diǎn)數(shù) | 3 | 5 | 7 | 9 |
… | … | … | … | … |
第六層幾何點(diǎn)數(shù) | ||||
… | … | … | … | … |
第n層幾何點(diǎn)數(shù) |
請寫出第六層各個(gè)圖形的幾何點(diǎn)數(shù),并歸納出第n層各個(gè)圖形的幾何點(diǎn)數(shù).
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【題目】為了解外來務(wù)工子女就學(xué)情況,某校對七年級各班級外來務(wù)工子女的人數(shù)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)各班級中外來務(wù)工子女的人數(shù)有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六種情況,并制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖:
(1)求該校七年級平均每個(gè)班級有多少名外來務(wù)工子女?并將該條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)學(xué)校決定從只有2名外來務(wù)工子女的這些班級中,任選兩名進(jìn)行生活資助,請用列表法或畫樹狀圖的方法,求出所選兩名外來務(wù)工子女來自同一個(gè)班級的概率.
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(1)如圖2,畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn).
(2)如圖3,作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法).
(3)如圖4,在四邊形ABCD中,P是AC上的點(diǎn),PA≠PC,延長BP交CD于點(diǎn)E,延長DP交BC于點(diǎn)F,且∠CDF=∠CBE,CE=CF.求證:點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn).
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