Question

如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MD交AC于點(diǎn)D、交AB于點(diǎn)M．下列結(jié)論：
①BD是∠ABC的平分線；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
正確的有（ ）個(gè)．

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：首先由AB的中垂線MD交AC于點(diǎn)D、交AB于點(diǎn)M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度數(shù)，又由AB=AC，即可求得∠ABC與∠C的度數(shù)，則可求得所有角的度數(shù)，可得△BCD也是等腰三角形，則可證得△ABC∽△BCD．
解答：解：∵AB的中垂線MD交AC于點(diǎn)D、交AB于點(diǎn)M，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分線；故①正確；
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴△BCD是等腰三角形，故②正確；
∵∠C=∠C，∠BDC=∠ABC=72°，
∴△ABC∽△BCD，故③正確；
∵△AMD中，∠AMD=90°，△BCD中沒(méi)有直角，
∴△AMD與△BCD不全等，故④錯(cuò)誤．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．