【題目】正方形ABCD中,點O是對角線DB的中點,點PDB所在直線上的一個動點,PEBCEPFDCF

1)當(dāng)點P與點O重合時(如圖①),猜測APEF的數(shù)量及位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

2)當(dāng)點P在線段DB上(不與點D、O、B重合)時(如圖②),探究(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,寫出證明過程;若不成立,請說明理由;

3)當(dāng)點PDB的長延長線上時,請將圖③補充完整,并判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,直接寫出結(jié)論;若不成立,請寫出相應(yīng)的結(jié)論.

【答案】(1)AP=EF,APEF,理由見解析;(2)仍成立,理由見解析;(3仍成立,理由見解析;

【解析】試題分析:(1)正方形中容易證明∠MAO=OFE=45°AMO=EOF=90°,利用AAS證明△AMO≌△FOE.(2) (3)按照(1)中的證明方法證明△AMP≌△FPESAS),結(jié)論依然成立.

試題解析:

1AP=EF,APEF,理由如下

連接AC,則AC必過點O,延長FOABM

OFCD,OEBC,且四邊形ABCD是正方形,

∴四邊形OECF是正方形,

OM=OF=OE=AM,

∵∠MAO=OFE=45°AMO=EOF=90°,

∴△AMO≌△FOEAAS),

AO=EF,且∠AOM=OFE=FOC=45°,OCEF,

AP=EF,且APEF

2)題(1)的結(jié)論仍然成立,理由如下:

延長APBCN,延長FPABM

PMAB,PEBC,MBE=90°,且∠MBP=EBP=45°,

∴四邊形MBEP是正方形,

MP=PEAMP=FPE=90°;

又∵AB﹣BM=AMBC﹣BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE

AM=PF,

∴△AMP≌△FPESAS),

AP=EF,APM=FPN=PEF,

∵∠PEF+PFE=90°FPN=PEF,

∴∠FPN+PFE=90°APEF,

AP=EF,且APEF

3)題(1)(2)的結(jié)論仍然成立;

如右圖,延長ABPFH,證法與(2)完全相同.

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