Question

如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或者邊CD（含端點(diǎn)）交于F，然后展開(kāi)鋪平，則以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”
（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個(gè)“折痕△BEF”是一個(gè)______三角形
（2）如圖①、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點(diǎn)E位于AD的中點(diǎn)時(shí)，畫(huà)出這個(gè)“折痕△BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說(shuō)明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)？若不存在，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖形結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)即可解答；
（2）由折疊性質(zhì)可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的長(zhǎng)，判斷出四邊形ABFE為正方形，求得F點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）矩形ABCD存在面積最大的折痕三角形BEF，其面積為4，
①當(dāng)F在邊CD上時(shí)，S_△BEF≤S_矩形ABCD，即當(dāng)F與C重合時(shí)，面積最大為4；
②當(dāng)F在邊CD上時(shí)，過(guò)F作FH∥BC交AB于點(diǎn)H，交BE于K，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解；再根據(jù)此兩種情況利用勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）等腰．

（2）如圖①，連接BE，畫(huà)BE的中垂線交BC與點(diǎn)F，連接EF，△BEF是矩形ABCD的一個(gè)折痕三角形．
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴點(diǎn)A在BE的中垂線上，即折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
∴四邊形ABFE為正方形．
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）．

（3）矩形ABCD存在面積最大的折痕三角形BEF，其面積為4，
理由如下：①當(dāng)F在邊BC上時(shí)，如圖②所示．
S_△BEF≤S_矩形ABCD，即當(dāng)F與C重合時(shí)，面積最大為4．
②當(dāng)F在邊CD上時(shí)，如圖③所示，
過(guò)F作FH∥BC交AB于點(diǎn)H，交BE于K．
∵S_△EKF=KF•AH≤HF•AH=S_矩形AHFD，
S_△BKF=KF•BH≤HF•BH=S_矩形BCFH，
∴S_△BEF≤S_矩形ABCD=4．
即當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，△BEF面積最大為4．
下面求面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)．
①當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖④所示．
由折疊可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中，ED===2．
∴AE=4-2．
∴E（4-2，2）．
②當(dāng)F在邊DC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，如圖⑤所示．
此時(shí)E（0，2）．
綜上所述，折痕△BEF的最大面積為4時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0，2）或E（4-2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到矩形及正方形的性質(zhì)，難度較大，在解答此題時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分類討論．