Question

如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，∠B的平分線與AD，AC交于E，F，
求證：BE•EF=2AE•DE．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：由條件∠BDE=∠BAF=90°，∠DBE=∠ABF（角平分線），可得∠BED=∠BFA，而∠BED=∠AEF，可證得△AEF是等腰三角形，作AG⊥EF于G，則EF=2EG，證得△AGE∽△BDE，則有BE•EG=AE•DE，而EG=

1

2

EF，代入可證得結論．

解答：證明：∵∠BDE=∠BAF=90°，∠DBE=∠ABF（角平分線），
∴∠BED=∠BFA
而∠BED=∠AEF，故有∠AEF=∠BFA，△AEF是等腰三角形．

作AG⊥EF于G，則EF=2EG，
且∠EAG=

1

2

∠DAC=

1

2

∠CBA=∠EBD，
又∵∠AGE=∠BDE=90°，
∴△AGE∽△BDE，
∴AE：EG=BE：DE，
即BE•EG=AE•DE，
而EG=

1

2

EF，
則BE•EF=2AE•DE．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是證明△AEF是等腰三角形，從而找到EF和EG之間的關系，再利用相似找到比例關系．