Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N是BC、CD邊上的點(diǎn)，連接AM、BN，若BM=CN

（1）求證：AM⊥BN

（2）將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段ME，連接NE，試說明：四邊形BMEN是平行四邊形；

（3）將△ABM繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF，連接EF，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出 的值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）只需證明△ABM≌△BCN即可得到結(jié)論；

（2）由（1）可知AM＝BN且AM⊥BN，而ME是由AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，于是可得ME與BN平行且相等，結(jié)論顯然；

（3）易證AMEF為正方形，從而問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)正方形的邊長之比，由于已經(jīng)知道BM與BC之比，設(shè)BM＝a，則由勾股定理易求AM．

解：（1）∵ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，

又∵BM＝CN，

∴△ABM≌△BCN（SAS），

∴∠BAM＝∠CBN，

∵∠BAM＋∠BMA＝90°，

∴∠CBN＋∠BMA＝90°，

∴AM⊥BN；

（2）∵將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段ME，

∴ME＝AM，ME⊥AM，

∵△ABM≌△BCN，

∴AM＝BN，

∵AM⊥BN，

∴BN＝ME，且BN∥ME，

∴四邊形BMEN是平行四邊形；

（3）∵將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段ME，將△ABM繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADF，

∴∠MAF＝∠AME＝90°，AF＝ME＝AM

∴AF∥ME，

∴AMEF是正方形，

∵，可以設(shè)BM＝a，AB＝na，

在直角三角形ABM中，AM＝，

∴．