Question

【題目】（1）特例探究．

如圖（1），在等邊三角形ABC中，BD是∠ABC的平分線，AE是BC邊上的高線，BD和AE相交于點F．

請你探究是否成立，請說明理由；請你探究是否成立，并說明理由．

（2）歸納證明．

如圖（2），若△ABC為任意三角形，BD是三角形的一條內角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．

（3）拓展應用．

如圖（3），BC是△ABC外接圓⊙O的直徑，BD是∠ABC的平分線，交⊙O于點E，過點O作BC的垂線，交BA的延長線于點F，交BD于點G，連接CG，其中cos∠ACB=，請直接寫出的值；若△BGF的面積為S，請求出△COG的面積（用含S的代數式表示）．

Answer 1

【答案】(1)成立，證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）S.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質結合已知條件易得：AD=CD，AB=BC，∠AEB=90°，∠BAF=∠ABF=∠CBF=30°，由此可得AF=BF=2EF，從而可得，；

（2）如下圖，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，過點B作BP⊥AC于點P，則易得DE=DF，由此可得S△ABD=AB·DE=AD·BP，S△CBD=BC·DF=CD·BP，把兩個等式相比即可得到所求結論了；

（3）①由BC是⊙O的直徑可得∠BAC=90°，結合cos∠ACB=可得sin∠ACB=，再由（2）中結論即可得到；②由已知條件易得，由OF⊥BC可得，從而可得，由此即可得到S△COG=.

（1），，理由如下：

∵△ABC為等邊三角形，BD是∠ABC的平分線，AE是BC邊上的高線，

∴AD=CD=AC，BE=BC ，AB=BC，∠AEB=90°，∠BAF=∠ABF=∠CBF=30°，

∴AF=BF=2EF，

∴，；

（2）一定成立，理由如下：

如下圖，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，過點B作BP⊥AC于點P，

∵BD是∠ABC的平分線，

∴DE=DF，

∵S△ABD=AB·DE=AD·BP，S△CBD=BC·DF=CD·BP，

∴

∴．

（3）∵BC為直徑，

∴∠BAC=90°．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=，

∴sin∠ACB=．

∵BD是∠ABC的平分線，

∴．

∵點G在∠ABC的平分線上，

∴△BGF和△COG等高（分別以BF、CO為底），

∴．

∵FO⊥BC，

∴=cos∠ABC=sin∠ACB=，

又∵S△BGF=S，

∴ ，

∴S△COG=S．