Question

如圖1，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點D，一個直徑與AD相等的圓與BC相切于點E、與AB相切于點F，連接EF．
（1）判斷EF與AC的位置關(guān)系（不必說明理由）；
（2）如圖2，過E作BC的垂線，交圓于G，連接AG，判斷四邊形ADEG的形狀，并說明理由；
（3）求證：AC與GE的交點O為此圓的圓心．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠EFB與∠FEB都是弦切角，可得△ABC是等邊三角形，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，即△BFE為等邊三角形，所以求得∠BAC=∠BFE，∠BCA=∠BEF，可證明EF∥AC；
（2）根據(jù)圓切BC于E，EG為直徑，AD=EG，AD⊥BC，可判定四邊形ADEG為矩形；
（3）由（1）（2）的結(jié)論，證明AC垂直平分FG；再根據(jù)垂徑定理，可知AC必過圓心，又EG為直徑，所以AC與GE的交點O為此圓的圓心．
解答：（1）解：EF∥AC；

（2）解：四邊形ADEG為矩形；
理由：
∵EG⊥BC，E為切點，
∵BC為圓O的切線，
∴EG為直徑，
∴EG=AD；
又∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD∥EG，
由EG=AD，AD∥EG，
得出四邊形ADEG為平行四邊形，
∵∠ADE=90°，
∴平行四邊形ADEG為矩形；

（3）證明：連接FG，由（2）可知EG為直徑，
∴FG⊥EF；
又由（1）可知EF∥AC，
∴AC⊥FG；
又∵四邊形ADEG為矩形，
∴EG⊥AG，
∴AG是已知圓的切線；
∵AF=AG，
∴AC是FG的垂直平分線，故AC必過圓心，（從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角，根據(jù)等腰三角形三線合一定理即可得出AC垂直平分FG）
∴圓心O就是AC與EG的交點．
點評：本題綜合考查了切線的性質(zhì)和垂徑定理．要熟練掌握矩形的判定和圓中的有關(guān)性質(zhì)才能靈活的解題．