Question

【題目】有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：第一個數(shù)是 ；第二個數(shù)是 ；第三個數(shù)是 ；

（1）經(jīng)過探究，我們發(fā)現(xiàn)： ， ，

設(shè)這列數(shù)的第 5 個數(shù)為 a ，那么 ，a=，a<，哪個正確?

請你直接寫出正確的結(jié)論；

（2）請你觀察第1個數(shù)、第2個數(shù)、第3個數(shù)，猜想這列數(shù)的第n個數(shù) (即用正整數(shù)n表示第 n 數(shù))，并且證明你的猜想滿足"第n個數(shù)與第 (n+1) 個數(shù)的和等于 "；

（3）設(shè) 表示 ，這 2016個數(shù)的和，

即 M= .

求證： ．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由已知規(guī)律可得；

（2）先根據(jù)已知規(guī)律寫出第n、n+1個數(shù)，再根據(jù)分式的運算化簡可得；

（3）將每個分式根據(jù)＜＜=，展開后再全部相加可得結(jié)論．

試題解析：解：（1）由題意知第5個數(shù)a==；

（2）∵第n個數(shù)為，第（n+1）個數(shù)為，∴===；

即第n個數(shù)與第（n+1）個數(shù)的和等于；

（3）∵＜=1， ＜＜， ＜＜，…

＜＜， ＜＜，∴，∴．