Question

【題目】已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．

（1）如圖1，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫出結(jié)論；

（2）如圖2，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若AB=13，CE=5，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出MF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）DM⊥EM，DM=EM，理由見(jiàn)解析； （2）DM⊥EM，DM=EM，理由見(jiàn)解析；（3）滿足條件的MF的值為或．

【解析】（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM=EM．只要證明△AMH≌△FME，推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因?yàn)椤?/span>EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；

（2）結(jié)論不變，證明方法同（1）類似；

（3）分兩種情形畫出圖形，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM=EM，

理由：如圖1中，延長(zhǎng)EM交AD于H，

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，

∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH=∠MFE，

∵AM=MF，∠AMH=∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH=ME，AH=EF=EC，

∴DH=DE，

∵∠EDH=90°，

∴DM⊥EM，DM=ME；

（2）如圖2中，結(jié)論不變．DM⊥EM，DM=EM，

理由：如圖2中，延長(zhǎng)EM交DA的延長(zhǎng)線于H，

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，

∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH=∠MFE，

∵AM=MF，∠AMH=∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH=ME，AH=EF=EC，

∴DH=DE，

∵∠EDH=90°，

∴DM⊥EM，DM=ME；

（3）如圖3中，作MR⊥DE于R，

在Rt△CDE中，DE==12，

∵DM=NE，DM⊥ME，

∴MR=⊥DE，MR=DE=6，DR=RE=6，

在Rt△FMR中，FM=，

如圖4中，作MR⊥DE于R，

在Rt△MRF中，FM=，

故滿足條件的MF的值為或．