Question

如圖，已知△ABC中，AB＝BC＝1，ABC＝90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點按逆時鐘方向旋轉(zhuǎn)．

(1)在圖1中，DE交AB于點M，DF交BC于點N．

①證明：DM＝DN

②在這一過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的；若不發(fā)生變化，求出其面積．

(2)在這一過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的周長是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，求出最大值或最小值是多少？若不發(fā)生變化，求出其周長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①證明：連結(jié)DB．在Rt△ABC中，AB＝BC，AD＝CD． 　　∴DB＝DC＝AD，∠BDC＝90°． 　　∴∠A＝∠DBN＝45°． 　　∵∠ADM＋∠MDB＝∠BDN＋∠MDB＝90°， 　　∴∠ADM＝∠BDN． 　　∴△ADM≌△BDN． 　　∴DM＝DN(方法不唯一) 　　②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化． 　　由①，知△BMD≌△CND．∴S△BMD＝S△CND 　　∴S四邊形DMBN＝S△DBN＋S△DMB＝S△DBN＋S△DNC＝S△DBC＝S△ABC＝(方法不唯一) 　　(2)四邊形DMBN的周長發(fā)生變化． 　　由①的三角形全等的證明，可知AM＝BN，BM＝CN．故可設(shè)BM＝x，BN＝1－x，由勾股定理得 　　，則有DM＝DN＝MN． 　　四邊形DMBN的周長為BM＋BN＋DM＋DN＝x＋(1－x)＋＝1＋＝1＋ 　　∵0＜x＜1，∴當(dāng)時，四邊形DMBN的周長有最小值為2，沒有最大值．