Question

如圖8，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式．

（2）當(dāng)a=1時(shí)，求四邊形MEFP面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小？請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線為

∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(－1，0)、C(0，5)

∴

解得：                            

∴二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為

即y=－x²+4x+5                    

（2）當(dāng)a=1時(shí)，E（1,0）,F（2,0），

設(shè)P的坐標(biāo)為(x，－x²+4x+5)

過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為G，

則四邊形MEFP面積

=

=

=

=

所以，當(dāng)時(shí)，四邊形MEFP面積的最大，最大值為，

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為.

（3）EF=1，把點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位得點(diǎn)M₁，再做點(diǎn)M₁關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M₂,在四邊形FMEF中，因?yàn)檫?i>PM，EF為固定值，所以要使四邊形FMEF周長(zhǎng)最小，則ME+PF最小，因?yàn)?i>ME=M₁F=M₂F，所以只要使M₂F+PF最小即可，所以點(diǎn)F應(yīng)該是直線M₂P與x軸的交點(diǎn)，由OM=1，OC=5，得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，根據(jù)y=－x²+4x+5可求得點(diǎn)P（）

又點(diǎn)M₂坐標(biāo)為（1，－1），

所以直線M₂P的解析式為：，

當(dāng)y=0時(shí)，求得，∴F（，0）

 ∴

所以，當(dāng)時(shí)，四邊形FMEF周長(zhǎng)最小.