Question

如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為點A（-2，3），且拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點B（0，2）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）是否在x軸上存在點P使△PAB為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P是x軸上任意一點，則當PA-PB最大時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過讀題可以看出拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為點A（-2，3），且經(jīng)過B點，所以直接將拋物線的解析式設為頂點式，然后代入B點的坐標求解即可．
（2）首先設出P點的坐標，根據(jù)坐標系兩點間的距離公式分別求出PA、PB、AB的長度（或表達式），然后分PA=PB、PA=AB、PB=AB三種情況列方程求解即可．
（3）當P、A、B三點不共線時，PA-PB＜AB（三角形三邊關(guān)系定理），三點共線時，PA-PB=AB，綜合來看：PA-PB≤AB，所以當PA-PB的值最大時，P、A、B三點共線，因此只需求出直線AB的解析式，該直線與x軸的交點即為符合條件的P點．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點坐標為A（-2，3），∴可設拋物線的解析式為y=a（x+2）²+3．
由題意得：a（0+2）²+3=2，解得：a=-．
∴物線的解析式為y=-（x+2）²+3，即y=-x²-x+2．

（2）設存在符合條件的點P，其坐標為（p，0），則
PA²=（-2-p）²+3²，PB²=p²+2²，AB²=（3-2）²+2²=5
當PA=PB時，（-2-p）²+3²=p²+2²，解得：p=-；
當PA=AB時，（-2-p）²+3²=5，方程無實數(shù)解；
當PB=AB時，p²+2²=5，解得p=±1．
∴x軸上存在符合條件的點P，其坐標為（-，0）或（-1，0）或（1，0）．

（3）∵PA-PB≤AB，
∴當A、B、P三點共線時，可得PA-PB的最大值，這個最大值等于AB，此時點P是直線AB與x軸的交點．
設直線AB的解析式為y=kx+b，則：
，解得．
∴直線AB的解析式為y=-x+2，
當y=-x+2=0時，解得x=4．
∴當PA-PB最大時，點P的坐標是（4，0）．
點評：此題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰三角形的判定、三角形三邊關(guān)系定理等重要知識；（2）題應注意等腰三角形的腰和底沒有明確告知，所以要分情況進行討論；最后一題中，找出PA-PB值最大時點P的位置是解決問題的關(guān)鍵．