(2012•慶陽)如圖,在平面直角坐標系中,頂點為(4,-1)的拋物線交y軸于A點,交x軸于B,C兩點(點B在點C的左側(cè)),已知A點坐標為(0,3).
(1)求此拋物線的解析式
(2)過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D,如果以點C為圓心的圓與直線BD相切,請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系,并給出證明;
(3)已知點P是拋物線上的一個動點,且位于A,C兩點之間,問:當點P運動到什么位置時,△PAC的面積最大?并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積.

【答案】分析:(1)已知拋物線的頂點坐標,可用頂點式設拋物線的解析式,然后將A點坐標代入其中,即可求出此二次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)拋物線的解析式,易求得對稱軸l的解析式及B、C的坐標,分別求出直線AB、BD、CE的解析式,再求出CE的長,與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可;
(3)過P作y軸的平行線,交AC于Q;易求得直線AC的解析式,可設出P點的坐標,進而可表示出P、Q的縱坐標,也就得出了PQ的長;然后根據(jù)三角形面積的計算方法,可得出關于△PAC的面積與P點橫坐標的函數(shù)關系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PAC的最大面積及對應的P點坐標.
解答:解:(1)設拋物線為y=a(x-4)2-1,
∵拋物線經(jīng)過點A(0,3),
∴3=a(0-4)2-1,;
∴拋物線為;(3分)

(2)相交.
證明:連接CE,則CE⊥BD,
時,x1=2,x2=6.
A(0,3),B(2,0),C(6,0),
對稱軸x=4,
∴OB=2,AB==,BC=4,
∵AB⊥BD,
∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°,
∴△AOB∽△BEC,
=,即=,解得CE=
>2,
∴拋物線的對稱軸l與⊙C相交.(7分)

(3)如圖,過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q;
可求出AC的解析式為;(8分)
設P點的坐標為(m,),
則Q點的坐標為(m,);
∴PQ=-m+3-(m2-2m+3)=-m2+m.
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×(-m2+m)×6
=-(m-3)2+;
∴當m=3時,△PAC的面積最大為
此時,P點的坐標為(3,).(10分)
點評:此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線與圓的位置關系、圖形面積的求法等知識.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•慶陽)如圖,函數(shù)y=k(x+1)與y=
k
x
在同一直角坐標系內(nèi)的圖象僅可能是( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•慶陽)如圖,點A、B、C、D、E、F為圓O的六等分點,動點P從圓心O出發(fā),沿O-C-D-O的路線作勻速運動.設運動時間為x秒,∠APF的度數(shù)為y度,則下列圖象中表示y與x之間函數(shù)關系最恰當?shù)氖牵ā 。?/div>

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•慶陽)如圖是用棋子擺成的“小屋”,按照這樣的方式擺下去,第6個這樣的“小屋”需要
35
35
枚棋子.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2010年全國中考數(shù)學試題匯編《二次函數(shù)》(09)(解析版) 題型:解答題

(2012•慶陽)如圖,在平面直角坐標系中,頂點為(4,-1)的拋物線交y軸于A點,交x軸于B,C兩點(點B在點C的左側(cè)),已知A點坐標為(0,3).
(1)求此拋物線的解析式
(2)過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D,如果以點C為圓心的圓與直線BD相切,請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系,并給出證明;
(3)已知點P是拋物線上的一個動點,且位于A,C兩點之間,問:當點P運動到什么位置時,△PAC的面積最大?并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案