Question

如圖，直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCD．
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線CD的距離最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）利用直線CD解析式以及PQ的解析式求出S_△PCD=S_△PCQ+S_△PDQ，得出有關(guān)x的解析式，進(jìn)而求出最值．

解答：解：（1）∵直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（-2，0）、B（0，4）．
∵△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCD，
∴C（0，2）、D（4，0），
∴過(guò)A、B、D的拋物線解析式為y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵C（0，2）、D（4，0），
∴直線CD解析式為y=-

1

2

x+2，
設(shè)P（x，-

1

2

x²+x+4）（0＜x＜4），
作PE⊥x軸于E，交CD于Q，
則E（x，0），Q（x，-

1

2

x+2），
∴PQ=（-

1

2

x²+x+4）-（-

1

2

x+2）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
OE=x，DE=4-x，
∴S_△PCD=S_△PCQ+S_△PDQ=

1

2

PQ•OE+

1

2

PQ•DE=

1

2

PQ•OD，
=

1

2

（-

1

2

x²+

3

2

x+2）×4=-x²+3x+4=-（x-

3

2

）²+

25

4

，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，△PCD的面積最大，也即P到CD得距離最大．
∴存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線CD的距離最大，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，

35

8

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及在坐標(biāo)系中求三角形面積是考查重點(diǎn)題型．