【題目】小華同學(xué)對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.
(一)猜測(cè)探究
在△ABC中,AB=AC,M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),將線段AM繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與∠BAC相等的角度,得到線段AN,連接NB.
(1)如圖1,若M是線段BC上的任意一點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出∠NAB與∠MAC的數(shù)量關(guān)系是_______,NB與MC的數(shù)量關(guān)系是_______;
(2)如圖2,點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線上點(diǎn),若M是∠CBE內(nèi)部射線BD上任意一點(diǎn),連接MC,(1)中結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(二)拓展應(yīng)用
如圖3,在△A1B1C1中,A1B1=8,∠A1B1C1=90°,∠C1=30°,P是B1C1上的任意點(diǎn),連接A1P,將A1P繞點(diǎn)A1按順時(shí)針?lè)较蚵棉D(zhuǎn)60°,得到線段A1Q,連接B1Q.求線段B1Q長(zhǎng)度的最小值.
【答案】(一)(1)∠NAB=∠MAC,BN=MC;(2)成立,理由見(jiàn)解析;(二)QB1的最小值為4-4
【解析】
(一)(1)由旋轉(zhuǎn)知,AM=AN,∠BAC=∠NAM,進(jìn)而得出∠MAC=∠NAB,判斷出△CAM≌△BAN,即可得出結(jié)論;
(2)由旋轉(zhuǎn)知,AM=AN,∠BAC=∠NAM,進(jìn)而得出∠MAC=∠NAB,判斷出△CAM≌△BAN,即可得出結(jié)論;
(二)如圖3中,在A1 C1上截取A1N= A1 B1,連接PN,作NH⊥B1C1于H,作A1M⊥B1C1于M.理由全等三角形的性質(zhì)證明B1Q=PN,推出當(dāng)PN的值最小時(shí),Q B1的值最小,求出HN的值即可解決問(wèn)題.
解:(一)(1)結(jié)論:∠NAB=∠MAC,BN=MC.
理由:如圖1中,
∵∠MAN=∠CAB,
∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC,
∴∠NAB=∠MAC,
∵AB=AC,AN=AM,
∴△NAB≌△MAC(SAS),
∴BN=CM.
故答案為:∠NAB=∠MAC,BN=CM,
(2)(1)中結(jié)論仍然成立,
理由:由旋轉(zhuǎn)知,AM=AN,∠BAC=∠NAM,
∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM,
即:∠MAC=∠NAB,
∵AB=AC,
∴△CAM≌△BAN(SAS),
∴MC=NB;
(二)如圖3中,在A1 C1上截取A1N= A1 B1,連接PN,作NH⊥B1 C1于H,作A1M⊥B1C1于M.
∵∠C1A B1=∠P A1Q,
∴∠Q A1 B1=∠P A1 N,
∵A1A= A1P,A1 B1=AN,
∴△Q A1 B1≌△P A1N(SAS),
∴B1Q=PN,
∴當(dāng)PN的值最小時(shí),Q B1的值最小,
在Rt△A1 B1M中,∵∠A1 B1M=60°,A1 B1=8,
∴A1M= A1 B1sin60°=4,
∵∠M A1 C1=∠B1 A1 C1-∠B1 A1M=75°-30°=45°,
∴A1 C1=4,
∴N C1= A1 C1- A1N=4-8,
在Rt△NH C1,∵∠C1=45°,
∴NH=4-4,
根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)點(diǎn)P與H重合時(shí),PN的值最小,
∴Q B1的最小值為4-4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任意兩點(diǎn),,若點(diǎn)滿足,,則稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),的衍生點(diǎn).
(1)求點(diǎn),的衍生點(diǎn);
(2)如圖,已知是直線上的一點(diǎn),,點(diǎn)是,的衍生點(diǎn).
①求與的函數(shù)關(guān)系式;
②若直線與軸交于點(diǎn),是否存在以為直角邊的,若存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為探測(cè)某座山的高度AB,某飛機(jī)在空中C處測(cè)得山頂A處的俯角為31°,此時(shí)飛機(jī)的飛行高度為CH=4千米;保持飛行高度與方向不變,繼續(xù)向前飛行2千米到達(dá)D處,測(cè)得山頂A處的俯角為50°.求此山的高度AB.(參考數(shù)據(jù):tan31°≈0.6,tan50°≈1.2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,、分別是正方形的邊、上的點(diǎn),,、相交于點(diǎn).下列結(jié)論:;;與成中心對(duì)稱(chēng).其中,正確的結(jié)論有( )
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,D為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),DA=5,DB=4,DC=3,將線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD′,下列結(jié)論:①點(diǎn)D與點(diǎn)D′的距離為5;②∠ADC=150°;③△ACD′可以由△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到;④點(diǎn)D到CD′的距離為3;⑤S四邊形ADCD′ =6+.其中正確的有( )
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,內(nèi)接于,且,是的直徑,與交于點(diǎn),在的延長(zhǎng)線上,且.
試判斷與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
若,,求陰影的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3),對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A.F、C.D在同一直線上,點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè),且
AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
(1)求證:四邊形BCEF是平行四邊形,
(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,當(dāng)AF為何值時(shí),四邊形BCEF是菱形.
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