Question

【題目】我們約定：對角線相等的四邊形稱之為：“等線四邊形”。

（1）①在“平行四邊形、菱形、矩形、正方形”中一定是“等線四邊形”的是___________________；

②如圖1，若四邊形是“等線四邊形”， 分別是邊的中點，依次連接，得到四邊形，請判斷四邊形的形狀：______________________；

（2）如圖2，在平面直角坐標系中，已知，以為直徑作圓，該圓與軸的正半軸交于點，若為坐標系中一動點，且四邊形為“等線四邊形”。當的長度最短時，求經(jīng)過三點的拋物線的解析式；

（3）如圖3，在平面直角坐標系中，四邊形是“等線四邊形”， 在軸的負半軸上，在軸的負半軸上，且。點分別是一次函數(shù)與軸，軸的交點，動點從點開始沿軸的正方向運動，運動的速度為2個單位長度/秒，設(shè)運動的時間為秒，以點為圓心，半徑，單位長度作圓，問：①當與直線初次相切時，求此時運動的時間；②當運動的時間滿足且時，與直線相交于，求弦長的最大值。

Answer 1

【答案】（1）①矩形，正方形；②菱形；（2）；（3）①；②當時，有最大值

【解析】

（1）①依據(jù)矩形，正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②根據(jù)三角形中位線定理，菱形的判定定理可知它一定是菱形；

（2）連接CP，與圓相交于一點，當點Q在直線PC上時，PQ的長度為最短；利用勾股定理先求出C點坐標，再求出直線PC的方程，從而算出點Q的坐標，然后得到拋物線的解析式；

（3）根據(jù)題意可知點B、C坐標，設(shè)出點A、D坐標，由AD=，課求得A、D坐標，然后求得點P的坐標，再分別討論BC與圓P的關(guān)系，從而求出時間；再求出弦MN的長度的最大值.

解：（1）①在我們學習過的四邊形中，矩形和正方形屬于等對角線四邊形；

故答案為；矩形，正方形.

②如圖，四邊形ABCD是等線四邊形，E、F、G、H分別是各邊中點，

∵E、F、G、H分別是各邊中點，

∴EF=GH=，EH=FG=，

∵AC=BD

∴EF=GH=EH=FG，

∴四邊形EFGH是菱形.

（2）如圖，連接CP與圓E相交于一點，連接CE，

∵A(-2，0)，B（8,0）

∴圓心坐標為，，

∴中，

∴點坐標為，

∴直線解析式為，

∴圓心E（3,0）剛好在PC上.

當點在線段上時最小，此時點Q在第四象限，

∴，

解得：

點坐標為，

∴設(shè)過拋物線為則

，

∴；

（3）依題，如圖

由直線方程令x=0，y=0可得，坐標分別為，

設(shè)點坐標為，

∵AC=BD，

∴點坐標為，

∴中，，

∴（舍去），，

∴點坐標分別為，

∴點坐標為；

①∴當與初次相切時，

∴；

②當時，逐漸增大，

當時，，此時，

當時，，過作于點，

則

∴

∴當時，有最大值。