Question

【題目】請(qǐng)閱讀如下材料.

如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，AG⊥BE，垂足為G.求證：OE=OF.

證明：∵四邊形ABCD是正方形.

∴∠BOE=∠AOF=90°,且OA=OE.

又∵AG⊥BE，∴∠1+∠3＝90°＝∠2+∠3，即∠1＝∠2.

∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF.

⑴根據(jù)你的理解，上述證明思路的核心是利用 使問題得以解決，而證明過程中的關(guān)鍵是證出 .

⑵若上述命題改為：點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥BE交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AG交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，其他條件不變.

求證：OF=OE.

Answer 1

【答案】⑴三角形全等，∠1＝∠2；（2）見解析；

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且、互相垂直平分證明出∠1=∠2；再根據(jù)AAS證明出Rt△BOE≌Rt△AOF，根據(jù)全等三全等的性質(zhì)即可證明OE=OF；

（2）根據(jù)正方形的四邊相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角，證明出∠ABF=∠BCE，從而證明出△ABF≌△BCE，根據(jù)全等三全等的性質(zhì)即可證明OE=OF.

試題解析：（1）上述證明思路的核心是利用全等三角形的性質(zhì)使問題得以解決，而證明過程中的關(guān)鍵是證出∠1=∠2；

故答案為：全等三角形的性質(zhì)使問題得以解決；∠1=∠2.

（2）∵ABCD是正方形，

∴∠ABO=∠ACB=45° ，AB=BC， OB=OC，

∴∠ABF=∠BCE=135° ，

∵∠OAF+∠F=90° ，∠OAF+∠E=90°，

∴△ABF≌△BCE(AAS)

∴BF=CE，

∴BF+OB=CE+OC，即OE=OF.