Question

（2012•廣西）已知拋物線y=ax²+2x+c的圖象與x軸交于點A（3，0）和點C，與y軸交于點B（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點D，使得點D到點B、C的距離之和最小，并求出點D的坐標；
（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點．為求D點坐標，需先求出直線AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D點坐標；
（3）本問關鍵是求出△ABP的面積表達式．這個表達式是一個關于P點橫坐標的二次函數，利用二次函數求極值的方法可以確定P點的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c的圖象經過點A（3，0）和點B（0，3），
∴

9a+6+c=0 c=3

，解得a=-1，c=3，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

（2）對稱軸為x=-

b

2a

=1，
令y=-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，∴C（-1，0）．
如圖1所示，連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點，由于A、C兩點關于對稱軸對稱，則此時DB+DC=DB+DA=AB最�。�
設直線AB的解析式為y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：

3k+b=0 b=3

，解得k=-1，b=3，
∴直線AB解析式為y=-x+3．
當x=1時，y=2，∴D點坐標為（1，2）．

（3）結論：存在．
如圖2所示，設P（x，y）是第一象限的拋物線上一點，
過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y，AN=OA-ON=3-x．
S_△ABP=S_梯形PNOB+S_△PNA-S_△AOB
=

1

2

（OB+PN）•ON+

1

2

PN•AN-

1

2

OA•OB
=

1

2

（3+y）•x+

1

2

y•（3-x）-

1

2

×3×3
=

3

2

（x+y）-

9

2

，
∵P（x，y）在拋物線上，∴y=-x²+2x+3，代入上式得：
S_△ABP=

3

2

（x+y）-

9

2

=-

3

2

（x²-3x）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∴當x=

3

2

時，S_△ABP取得最大值．
當x=

3

2

時，y=-x²+2x+3=

15

4

，∴P（

3

2

，

15

4

）．
所以，在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大；P點的坐標為（

3

2

，

15

4

）．

點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數（二次函數和一次函數）的解析式、利用軸對稱性質確定線段的最小長度、圖形面積的表示方法等重要知識點，難度不是很大．注意第（3）問中圖形面積的表示方法-并非直接用底乘以高，而是通過其他圖形組合轉化而來-這是壓軸題中常見的技巧，需要認真掌握．