Question

5．如圖，Rt△ABC，∠C=90°，點D為AB上的一點，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點E，連接AE．
（1）求證：AE平分∠BAC；
（2）若AC=8，OB=18，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OE．首先證明AC∥OE，推出∠CAE=∠AEO，由OA=OE，推出∠AEO=∠OAE=∠CAE即可證明．
（2）設OE=OA=OD=r，由OE∥AC，得$\frac{OE}{AC}$=$\frac{OB}{BA}$，即$\frac{r}{8}$=$\frac{18}{18+r}$，解方程即可．

解答 （1）證明：如圖，連接OE．

∵BC是⊙O切線，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OEB=90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE=∠CAE，
∴AE平分∠CAB．

（2）解：設OE=OA=OD=r，
∵OE∥AC，
∴$\frac{OE}{AC}$=$\frac{OB}{BA}$，
∴$\frac{r}{8}$=$\frac{18}{18+r}$，
∴r=6（負根已經(jīng)舍棄）
∴BD=OB-OD=18-6=12．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．