Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x 2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y＝－x＋3．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P(m，0)是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線BC于D，交拋物線于E，EF∥x軸，交直線BC于F，DG∥x軸，F(xiàn)G∥y軸，DG與FG交于點(diǎn)G．設(shè)四邊形DEFG的面積為S，當(dāng)m為何值時(shí)S最大，最大值是多少？
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，將△OAC繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使得旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上．若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝3，

∴B（3，0），C（0，3）

∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)

∴

解得

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3

（2）解：∵P（m，0），PD∥y軸交直線BC于D，交拋物線于E

∴D（m，－m＋3），E（m，－m2＋2m＋3）

∴DE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－ )2＋

∴當(dāng)m＝ 時(shí)，DE有最大值 ，

由題意可知四邊形DEFG為矩形

∵OB＝OC＝3，

∴∠DBP＝∠BDP＝∠EDF＝∠EFD＝45°

∴DE＝EF∴四邊形DEFG為正方形

∴S＝DE2

∴當(dāng)m＝ 時(shí)，S有最大值 ；

（3）解：如圖所示，

有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)A′、C′落在拋物線上時(shí)

由O′A′＝OA＝1，O′C′＝OC＝3

設(shè)A′（a，－a2＋2a＋3），則C′（a－3，－a2＋2a＋4）

∴－a2＋2a＋4＝－(a－3)2＋2(a－3)＋3

解得a＝ ，∴A′（ ， ）

作QN⊥x軸于N，A′M⊥QN于M，連接QA、QA′

則∠AQA′＝90°，可證△QAN≌△A′QM

設(shè)Q（x，y），則QM＝AN＝x＋1

A′M＝QN＝y(tǒng)＝x＋1＋ ＝ －x

解得x＝ ，y＝

∴Q1（ ， ）

②當(dāng)點(diǎn)O′、C′落在拋物線上時(shí)

則O′、C′兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，易知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，

由O′C′＝OC＝3，可知C′（－ ， ），

作QN⊥O′C′于N，CM⊥QN于M，連接QC、QC′

則∠CQC′＝90°，

可證△CQM≌△QC′N，

設(shè)Q（x，y），則QM＝C′N＝x＋

CM＝QN＝y(tǒng)－ ＝x＝3－(x＋ )－

解得x＝ ，y＝

∴Q2（ ， ）

綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ， ）或（ ， ）

【解析】（1） 根據(jù)直線BC的解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出b、c的值，即可得出拋物線的函數(shù)解析式。
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），根據(jù)PD∥y軸，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在直線BC上和拋物線上，因此可表示出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，再求出DE與m的函數(shù)解析式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出DE取最大值時(shí)m的值，再根據(jù)矩形的性質(zhì)及點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，得出OB＝OC、DE＝EF，就可證明四邊形DEFG為正方形，根據(jù)正方形的面積公式，求出s的最大值即可。
（3）此題分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)A′、C′落在拋物線上時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 得出O′A′＝OA＝1，O′C′＝OC＝3，設(shè)點(diǎn)A′，表示出C′的坐標(biāo)，根據(jù)x=a－3時(shí)，y=－a2＋2a＋4，建立方程求解即可表示出Q1的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)O′、C′落在拋物線上時(shí)，則O′、C′兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，易知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，得出C′的坐標(biāo)，作QN⊥O′C′于N，CM⊥QN于M，連接QC、QC′，證明△CQM≌△QC′N，根據(jù)CM＝QN建立方程，從而得到Q2的坐標(biāo)，得出結(jié)論即可。
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的最值和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．