Question

已知A（-1，0），B（0，-3），點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)C的直線與y軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)E．
（1）若點(diǎn)D（ 0，1），過點(diǎn)B作BF⊥CD于F，求∠DBF的度數(shù)及四邊形ABFD的面積；
（2）若點(diǎn)G（G不與C重合）是動(dòng)直線CD上一點(diǎn)，點(diǎn)D在點(diǎn)（0，1）的上方，且BG=BA，試探究∠ABG與∠ECA之間的等量關(guān)系．

Answer 1

解：（1）如圖1，依題意，C（1，0），OC=1．
由D（0，1），得OD=1．
在△DOC中，∠DOC=90°，OD=OC=1．可得∠CDO=45°．
∵BF⊥CD于F，
∴∠BFD=90°，
∴∠DBF=90°-∠CDO=45°．
∴FD=FB．
由D（0，1），B（0，-3），得BD=4．
在Rt△DFB中，∠DFB=90°，根據(jù)勾股定理，得
∴FD=FB=2．
∴S_△BFD=×BF•FD=×2×2=4，．
而S_△ADB=BD•AO=×4×1=2，
四邊形ABFD的面積=4+2=6
（2）如圖2，連接BC．
∵AO=OC，BO⊥AC，
∴BA=BC．
∴∠ABO=∠CBO．
設(shè)∠CBO=α，則∠ABO=α，∠ACB=90°-α．
∵BG=BA，
∴BG=BC．
∵BF⊥CD，
∴∠CBF=∠GBF．
設(shè)∠CBF=β，則∠GBF=β，∠BCG=90°-β．
∵∠ABG=2α+2β=2（α+β），∠ECA=α+β，
∴∠ABG=2∠ECA．
分析：（1）首先求出∠CDO=45°，因?yàn)锽F⊥CD于F，所以∠BFD=90°，所以∠DBF=90°-∠CDO=45°；若要求出四邊形ABFD的面積，則可分別求出S_△BFD和S_△ADB的面積即可；
（2）∠ABG與∠ECA之間的等量關(guān)系為∠ABG=2∠ECA，設(shè)∠CBO=α，則∠ABO=α，∠ACB=90°-α．利用三角形的內(nèi)角和證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義以及三角形的內(nèi)角和定理，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等．