Question

【題目】如圖，CE是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)，交CE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)A，連接DE，過(guò)點(diǎn)O作OB∥ED，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)B，連接BC．

（1）求證：直線(xiàn)BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AE=2，tan∠DEO= ，求AO的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵DE∥BO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OE，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△DOB與△COB中，

，

∴△DOB≌△COB，

∴∠OCB=∠ODB，

∵BD切⊙O于點(diǎn)D，

∴∠ODB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴AC⊥BC，

∴直線(xiàn)BC是⊙O的切線(xiàn)

（2）解：∵∠DEO=∠2，

∴tan∠DEO=tan∠2= ，

設(shè)OC=r，BC= r，

由（1）證得△DOB≌△COB，

∴BD=BC= r，

由切割線(xiàn)定理得：AD2=AEAC=2（2+r），

∴AD=2 ，

∵DE∥BO，

∴ ，

∴ ，

∴r=1，

∴AO=3．

【解析】（1）要證明直線(xiàn)BC是⊙O的切線(xiàn)，連接OD，根據(jù)已知先證明∠1=∠2，再證明△DOB≌△COB，得出∠OCB=∠ODB，然后根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)證明∠OCB=90°，即可證得結(jié)論。
（2）利用tan∠DEO= ，得出 tan∠2= ，由△DOB≌△COB得出BD=BC，再根據(jù)切割線(xiàn)定理，證得AD2=AEAC，可表示出AD的長(zhǎng)，再由DE∥BO，得對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，求出r的長(zhǎng)，即可求出AO的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．