Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F．切點為G，連接AG交CD于K．
（1）求證：KE=GE；
（2）若KG²=KD•GE，試判斷AC與EF的位置關系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若sinE=，AK=2，求FG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）如答圖1，連接OG．根據切線性質及CD⊥AB，可以推出連接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據等角對等邊得到KE=GE；
（2）AC與EF平行，理由為：如答圖2所示，連接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG²=KD•GE，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，從而得到AC∥EF；
（3）如答圖3所示，連接OG，OC．首先求出圓的半徑，根據勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的長度．
解答：解：（1）如答圖1，連接OG．
∵EG為切線，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由為：
連接GD，如答圖2所示．
∵KG²=KD•GE，即=，
∴=，又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；

（3）連接OG，OC，如答圖3所示．
sinE=sin∠ACH=，設AH=3t，則AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=（2）²，解得t=．
設⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3t）²+（4t）²=r²，解得r=t=．
∵EF為切線，∴△OGF為直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，
∴FG===．
點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．