Question

在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F，下列結論：①∠FCD=45°，②AE=EC，③S_△ABF：S_△AFC=BD：CD，④若BF=2EC，則△FDC周長等于AB的長．正確的是

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③
3. C.
   ①④
4. D.
   ①③④

Answer 1

D
分析：首先在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F，由此可以得到∠BAD=45°，接著得到AD=BD，又∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，所以可以證明△BDF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質可以得到FD=CD，進一步得到①；根據(jù)三角形面積公式和它們有一條公共邊可以得到③；若BF=2EC，根據(jù)①可以得到E是AC的中點，然后可以推出EF是AC的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質即可得到④．
解答：∵△ABC中，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，
∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一條公共邊，
∴S_△ABF：S_△AFC=BD：CD，
∴③正確；
∵∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC，
∴FD=CD，
∴∠FCD=∠CFD=45°，
∴①正確；
若BF=2EC，根據(jù)①得BF=AC，
∴AC=2EC，
即E為AC的中點，
∴BE為線段AC的垂直平分線，
∴AF=CF，BA=BC，
∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD，
即△FDC周長等于AB的長，
∴④正確．
故選D．
點評：此題比較復雜，考查了全等三角形的性質與判定，也考查了線段的垂直平分線的性質與判定，也利用了三角形的周長公式解題，綜合性比較強，對學生的能力要求比較高．