Question

如圖，直線y=-

3

4

x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點；直線y=

5

4

x與AB交于點C，過點A且平行于y軸的直線交于點D．點E從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動．過點E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點，以PQ為邊向右作正方形PQMN．設正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點E的運動時間為t（秒）．
（1）求點C的坐標；
（2）當0＜x＜5時，求S與t之間的函數(shù)關系式；
（3）求（2）中S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用已知函數(shù)解析式，求兩直線的交點，得點C的坐標即可；
（2）根據(jù)幾何關系把s用t表示，注意當MN在AD上時，這一特殊情況，進而分類討論得出；
（3）利用（2）中所求，結合二次函數(shù)最值求法求出即可．

解答：解：（1）由題意，得

y=- 3 4 x+6 y= 5 4 x

，
解得：

x=3 y= 15 4

，
∴C（3，

15

4

）；

（2）∵直線y=-

3

4

x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴y=0時，0=-

3

4

x+6，解得；x=8，
∴A點坐標為；（8，0），
根據(jù)題意，得AE=t，OE=8-t．
∴點Q的縱坐標為

5

4

（8-t），點P的縱坐標為-

3

4

（8-t）+6=

3

4

t，
∴PQ=

5

4

（8-t）-

3

4

t=10-2t．
當MN在AD上時，10-2t=t，
∴t=

10

3

．
當0＜t≤

10

3

時，S=t（10-2t），即S=-2t²+10t．
當

10

3

＜t＜5時，S=（10-2t）²，即S=4t²-40t+100；

（3）當0＜t≤

10

3

時，S=-2（t-

5

2

）²+

25

2

，
∴t=

5

2

時，S最大值=

25

2

．
當

10

3

≤t＜5時，S=4（t-5）²，
∵t＜5時，S隨t的增大而減小，
∴t=

10

3

時，S最大值=

100

9

．
∵

25

2

＞

100

9

，
∴S的最大值為

25

2

．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)綜合應用以及二次函數(shù)最值問題等知識，利用分類討論得出分段函數(shù)是解題關鍵．