Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABCD方向以3cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng). 已知兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.

（1）求CD的長；
（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△BPQ的面積為20cm2？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1：過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，
∵∠BCD=90°，
即BC⊥CD，
∴AM∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCM為平行四邊形，
∵∠BCD=90°，
∴平行四邊形ABCM為矩形，
∵AB=AD=10cm，BC=8cm，
∴AM=BC=8cm，CM=AB=10cm，
在Rt△ADM中，
∴DM==6cm,
∴CD=CM+MD=10+6=16cm.

（2）解：如圖2：
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴AP=3t，DQ=2t，
又∵AB=10cm，
∴PB=AB-AP=10-3t，
又∵四邊形PBQD為平行四邊形，
∴PB=DQ，
∴10-3t=2t，
∴t=2，
∴PB=DQ=4cm，
由（1）知CD=16cm，
∴CQ=12cm，
又∵BC=8cm，∠BCD=90°，
在Rt△BCQ中，
∴BQ==4cm，
∴CPBQD=2（PB+BQ）=2×（4+4）=8+8（cm）.


（3）解：①當(dāng)P在AB上時(shí)，如圖3，
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴AP=3t，DQ=2t，
∴03t10，
∴0t，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴PB=AB-AP=10-3t，
∴S△BPQ=.BP.BC=×（10-3t）×8=20，
∴t=.

②當(dāng)P在BC上時(shí)，如圖4，
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴AP=3t，DQ=2t，
∴103t18，
∴t6，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴PB=AB-AP=3t-10，
又由（1）知CD=16cm，
∴CQ=16-2t，
∴S△BPQ=.BP.CQ=×（3t-10）×（16-2t）=20，
∴3t2-34t+100=0，
∴△=342-4×3×100=-440，
∴從方程無解.

③當(dāng)P在CD上時(shí)，若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，如圖5，
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴AP=3t，DQ=2t，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴CP=AP-AB-BC=3t-18，
又由（1）知CD=16cm，
∴CQ=16-2t，
∴PQ=CQ-CP=（16-2t）-（3t-18）=34-5t，
∴，
∴6t.
∴S△BPQ=.PQ.BC=×（34-5t）×8=20，
∴t=6（不合題意，舍去）.

④當(dāng)P在CD上時(shí)，若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，如圖6，
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴AP=3t，DQ=2t，
又∵AB=10cm，BC=8cm，
∴CP=AP-AB-BC=3t-18，
又由（1）知CD=16cm，
∴CQ=16-2t，
∴PQ=CP-CQ=（3t-18）-（16-2t）=5t-34，
∴，
∴t8.
∴S△BPQ=.PQ.BC=×（5t-34）×8=20，
∴t=.

綜上所述：當(dāng)t=秒或秒時(shí)，△BPQ的面積為20cm2.

【解析】（1）如圖1：過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，由∠BCD=90°，AB∥CD得出四邊形ABCM為矩形，在Rt△ADM中，根據(jù)勾股定理求出DM=6cm，
從而求出CD=CM+MD=10+6=16cm.
（2）如圖2：由題意得出AP=3t，DQ=2t，PB=AB-AP=10-3t，由平行四邊形的性質(zhì)求出t的值，從而得出PB=DQ=4cm，再由勾股定理求出
BQ的值，從而求出四邊形PBQD的周長.
（3）根據(jù)題意分四種情況討論：①當(dāng)P在AB上時(shí)，如圖3；②當(dāng)P在BC上時(shí)，如圖4；③當(dāng)P在CD上時(shí)，若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，如圖5；④當(dāng)P在CD上時(shí)，若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，如圖6；根據(jù)題意畫出符合所有條件的圖形，再由三角形的面積列出方程，求出符合范圍的數(shù)值即可.