如圖,已知,正方形ABCD和一個(gè)圓心角為45°的扇形,圓心與A點(diǎn)重合,此扇形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),兩半徑分別交直線BC、CD于點(diǎn)P.K.
(1)當(dāng)點(diǎn)P、K分別在邊BC.CD上時(shí),如圖(1),求證:BP+DK=PK.
(2)當(dāng)點(diǎn)P、K分別在直線BC.CD上時(shí),如圖(2),線段BP、DK、PK之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請直接寫出結(jié)論.
(3)在圖(3)中,作直線BD交直線AP、AK于M、Q兩點(diǎn).若PK=5,CP=4,求PM的長.
分析:(1)延長CD到N,使DN=BP,連接AN,根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定SAS證△ABP≌△ADN,推出AN=AP,∠NAD=∠PAB,求出∠NAK=∠KAP=45°,根據(jù)SAS證△NAK和△KAP全等即可;
(2)在BC上截取BN=DK,連接AN,與(1)類似證△ADK≌△ABN和△KAP≌△NAP,推出BN=DK,NP=PK即可;
(3)在DC上截取DN=BP,連接AN,與(1)類似證△ADN≌△ABP和△KAP≌△KAN,推出BP=DN,NK=PK,得出DK=PB+PK,求出正方形的邊長,根據(jù)勾股定理求出AN、AK、AP,求出∠ABM=∠ACK=135°,∠PAB=∠CAK,證△MAB和△KAC相似,得出比例式,代入求出即可.
解答:(1)證明:延長CD到N,使DN=BP,連接AN,
∵正方形ABCD,
∴∠ABP=∠ADC=90°=∠BAD,AD=AB,
∴∠ADN=90°=∠ABP,
在△ABP和△ADN中
AD=AB
∠ADN=∠ABP
DN=BP
,
∴△ABP≌△ADN,
∴AN=AP,∠NAD=∠PAB,
∵∠BAD=90°,∠PAK=45°,
∴∠BAP+∠KAD=45°,
∴∠NAD+∠DAK=45°,
即∠NAK=∠KAP=45°,
在△NAK和△KAP中
AN=AP
∠PAK=∠NAK
AK=AK
,
∴△PAK≌△NAK,
∴NK=KP,
∴BP+DK=PK.

(2)解:BP=DK+PK,
理由是:在BC上截取BN=DK,連接AN,
與(1)類似△ADK≌△ABN,
∴AK=AN,∠KAD=∠BAN,
∵∠KAP=45°,
∴∠NAB+∠DAP=45°,
∴∠NAP=90°-45°=45°=∠KAP,
與(1)類似△KAP≌△NAP(SAS),
∴PK=PN,
∴BP=BN+NP=DK+PK,
即BP=DK+PK.

(3)解:在△CPK中,CP=4,PK=5,由勾股定理得:CK=3,
在DC上截取DN=BP,連接AN,
由(1)可知:AN=AP,
與(2)證法類似△NAK≌△PAK,
∴PK=NF,
∴DK=PB+PK,
即DC+3=4-BC+5,
∵正方形ABCD,DC=BC,
解得:AD=DC=BC=AB=3,
連接AC,
∵正方形ABCD,
∴∠ACB=∠DBC=∠MBP=45°,
∵∠ABC=∠PCK=90°,
∴∠ABM=∠ACK=45°+90°=135°,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC=3
2

在Rt△ABP中,由勾股定理得:AP=
32+(4-3)2
=
10
,
在Rt△ADK中,由勾股定理得:AK=
32+(3+3)2
=3
5

∵∠PAK=∠BAC=45°,∠BAK=∠BAK,
∴∠PAB=∠KAC,
∵∠ABM=∠ACK,
∴△MAB∽△KAC,
AM
AK
=
AB
AC
,
10
+PM
3
5
=
3
3
2
,
解得:PM=
10
2
,
答:PM的長是
10
2
點(diǎn)評:本題考查了勾股定理,正方形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用,本題主要考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,題目綜合性比較強(qiáng),但證明方法類似,注意:證三條線段之間的關(guān)系的解題思路.
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如圖,已知在正方形ABCD中,P為BC上的一點(diǎn),E是邊BC延長線上一點(diǎn),連接AP過點(diǎn)P作PF⊥精英家教網(wǎng)AP,與∠DCE的平分線CF,相交于點(diǎn)F,連接AF,與邊CD相交于點(diǎn)G,連接PG.
(1)求證:①∠PAB=∠FPC;②AP=FP;
(2)試判斷PB、DG、PC,這三條線段存在怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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18、如圖,已知在正方形ABCD中,P是BC上的一點(diǎn),且AP=DP.求證:P是BC中點(diǎn).

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1
2n
1
2n

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(2013•倉山區(qū)模擬)如圖,已知在正方形ABCD網(wǎng)格中,每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形,E是邊DC上的一個(gè)網(wǎng)格的格點(diǎn).
(1)
DE
EB
的值是
1
5
1
5

(2)按要求畫圖:在BC邊長找出格點(diǎn)F,連接AF,使AF⊥BE;
(3)在(2)的條件下,連接EF,求cos∠AFE的值.(結(jié)果保留根式)

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