如圖,已知直線L與⊙O相切于點A,直徑AB=6,點P在L上移動,連接OP交⊙O于點C,連接BC并延長BC交直線L于點D.
精英家教網(wǎng)(1)若AP=4,求線段PC的長;
(2)若△PAO與△BAD相似,求∠APO的度數(shù)和四邊形OADC的面積(答案要求保留根號).
分析:(1)在Rt△OAP中,根據(jù)勾股定理可將OP的長求出,減去半徑OC的長即為PC的長;
(2)如圖,根據(jù)△PAO∽△BAD,可知∠2=∠APO,再根據(jù)∠1=2∠2,利用三角形的內(nèi)角可將∠APO的度數(shù)求出;四邊形OADC的面積可通過△ABD與△BOC的面積之差求得,也可由△OAP與△CDP的面積之差求得.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵l與⊙○相切于點A,
∴∠A=90°
∴OP2=OA2+AP2
∵OA=OC=
1
2
AB=3,AP=4
∴OP2=32+42
∴OP=5
∴PC=5-3=2;

(2)∵△PAO∽△BAD,且∠1>∠2,∠A=∠A=90°
∴∠2=∠APO.
又∠1=2∠2,∠A=90°,
∴∠1=2∠APO,
∴∠1+∠APO=90°
即3∠APO=90°
∴∠APO=30°
在Rt△BAD中,∠2=∠APO=30°
∴AD=6tan30°=6×
3
3
=2
3

方法一:過點O作OE⊥BC于點E
∵∠2=30°,BO=3
∴OE=
3
2
,BE=3×cos30°=
3
3
2

∴BC=2BE=3
3

∴S四邊形OADC=S△BAD-S△BOC=
1
2
AB×AD-
1
2
BC×OE
=
1
2
×6×2
3
-
1
2
×3
3
×
3
2

=
15
4
3
;

方法二:在Rt△OAP中,AP=6tan60°=3
3
,OP=2OA=6
∴DP=AP-AD=3
3
-2
3
=
3
,PC=OP-OC=6-3=3
過點C作CF⊥AP于F
∵∠CPF=30°
∴CF=
1
2
PC=
3
2

∴S四邊形OADC=S△OAP-S△CDP=
1
2
AP×OA-
1
2
DP×CF
=
1
2
3
3
×3-
3
×
3
2

=
15
3
4
點評:此題考查了勾股定理的計算,相似三角形的性質(zhì)與判定,不規(guī)則圖形的面積的計算等知識,綜合性比較強,其中不規(guī)則圖形的面積可通過幾個規(guī)則圖形面積相加或相減求得.
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