Question

求所有不同質(zhì)數(shù)p，q、r和s，使得它們的和仍然是質(zhì)數(shù)，且p²+qs及p²+qr都是完全平方數(shù)．

Answer 1

分析：質(zhì)數(shù)中除2是偶數(shù)外，其余均為奇數(shù)．p，q、r和s的和為質(zhì)數(shù)，則四個數(shù)中必有一個為2．然后根據(jù)p²+qs或p²+qr是完全平方數(shù)并利用反證法推出p=2，而后利用分類討論，逐步篩掉不合題意者，推出正確答案．

解答：解：因為四個奇素數(shù)之和是大于2的偶數(shù)，所以所求的素數(shù)中必有一個為偶數(shù)2．
若p≠2，則p²+qs或p²+qr中有一個形如（2k+1）²+2（2l+1）=4（k²+k+l）+3，這是不可能的，因為奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1，所以p=2．
設(shè)2²+qs=a²，則qs=（a+2）（a-2）．
若a-2=1，則qs=5，因為q、s是奇素數(shù)，設(shè)2²+qs=a²，則qs=（a+2）（a-2）．
若a-2=1，則qs=5，因為q、s是奇素數(shù)，所以上式是不可能的．于是只能是q=a-2，s=a+2，
或者q=a+2，s=a-2，
所以s=q-4或q+4．
同理r=q-4或q+4．
三個數(shù)q-4、q、q+4被3除，余數(shù)各不相同，因此其中必有一個被3整除．
q或q+4為3時，都導(dǎo)致矛盾，所以只能是q-4=3．
于是（p，q，r，s）=（2，7，3，11）或（2，7，11，3）．

點評：此題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)以及奇數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題意，利用“篩法”逐步去掉不合題意的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．