【題目】如圖1,在△ABC中,ABBC,點(diǎn)DE分別在邊BC,AC上,連接DE,且DEDC

1)問題發(fā)現(xiàn):若∠ACB=∠ECD45°,則  

2)拓展探究:若∠ACB=∠ECD30°,將△EDC饒點(diǎn)C按逆時針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α180°),圖2是旋轉(zhuǎn)過程中的某一位置,在此過程中的大小有無變化?如果不變,請求出的值,如果變化,請說明理由;

3)問題解決:若∠ABC=∠EDCβ0°<β90°),將△EDC旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時,則的值為  .(用含β的式子表示)

【答案】1;(2)不變化,理由詳見解析;(32cosβ

【解析】

1)如圖1,過EEFABF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=∠DEC45°,于是得到∠B=∠EDC90°,推出四邊形EFBD是矩形,得到EFBD,推出AEF是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論;

2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED30°,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論;

3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CEDβ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,即,根據(jù)角的和差得到∠ACE=∠BCD,求得ACE∽△BCD,證得,過點(diǎn)BBFAC于點(diǎn)F,則AC2CF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解:(1)如圖1,過EEFABF

BABC,DEDC,∠ACB=∠ECD45°,

∴∠A=∠C=∠DEC45°,

∴∠B=∠EDC90°,

∴四邊形EFBD是矩形,

EFBD

EFBC,

∴△AEF是等腰直角三角形,

,

故答案為:;

2)此過程中的大小有變化,

由題意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED30°,

∴△ABC∽△EDC,

,即,

又∠ECD+ECB=∠ACB+ECB,

∴∠ACE=∠BCD,

∴△ACE∽△BCD

,

在△ABC中,如圖2,過點(diǎn)BBFAC于點(diǎn)F,

AC2CF,

RtBCF中,CFBCcos30°=BC,

ACBC

;

3)由題意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,且∠ACB=∠ECDβ

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CEDβ,

∴△ABC∽△EDC

,即

又∠ECD+ECB=∠ACB+ECB

∴∠ACE=∠BCD,

∴△ACE∽△BCD,

在△ABC中,如圖3,過點(diǎn)BBFAC于點(diǎn)F,則AC2CF,

RtBCF中,CFBCcosβ,

AC2BCcosβ

2cosβ,

故答案為2cosβ

練習(xí)冊系列答案
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3)在(2)的條件下,若,求的面積.(直接寫出結(jié)果即可)

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①a-b+c>0;②3a+b=0;

③b2=4a(c-n);

④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是(  )

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(1)寫出點(diǎn)B坐標(biāo);判斷△OBP的形狀;

(2)將拋物線沿對稱軸平移m個單位長度,平移的過程中交y軸于點(diǎn)A,分別連接CP、DP;

i)若拋物線向下平移m個單位長度,當(dāng)SPCD= SPOC時,求平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

ii)在平移過程中,試探究SPCD和SPOD之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系及對應(yīng)的m的取值范圍.

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