Question

如圖，⊙O′與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心O′的坐標(biāo)為（1，-1），半徑為

5

．
（1）求A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的切線解析式；
（3）問(wèn)過(guò)點(diǎn)A的切線與過(guò)點(diǎn)D的切線是否垂直？若垂直，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不垂直，試說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）連接O'B，過(guò)點(diǎn)O'分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、如圖
∵BH=

O′B2-O′H2

=2，
∴OB=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；（1分）
∵AH=BH=2，OH=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），（2分）
類似地，可得到點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，-3）；（4分）

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)D的切線交x軸于點(diǎn)E，EA=x，
則DE²=EA•EB=x（x+4）；
又在Rt△DOE中，DE²=EO²+DO²=（x+1）²+3²，
∴（x+1）²+3²=x（x+4）；（6分）
解得x=5，即EA=5，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-6，0）；（7分）
設(shè)所求切線的解析式為y=kx+b，因?yàn)樗��?jīng)過(guò)（0，-3）和（-6，0）兩點(diǎn)，
則

b=-3 -6k+b=0

解得

k=- 1 2 b=-3

∴所求解析式為y-

1

2

-3；（8分）

（3）答：過(guò)點(diǎn)A的切線與過(guò)點(diǎn)D的切線互相垂直．證明如下：（9分）
證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線與DE相交于點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)N；
∵AB=CD=4，即有

AB

=

CD

∴∠NAO=∠MDO；（10分）
又∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠MND+∠MDN=90°；
∴過(guò)點(diǎn)A的切線與過(guò)點(diǎn)D的切線互相垂直．（11分）