Question

已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S_{四邊形AEPF}=S_△ABC；④EF=AP，
當(dāng)∠EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有________個(gè)．并請證明你認(rèn)為正確的命題．

Answer 1

3
分析：由于AB=AC，∠BAC=90°，AP為斜邊上的中線，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=45°，AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，則∠EAP=∠FCP，根據(jù)等角的余角相等有∠EPA=∠FPC，根據(jù)全等三角形的判定可證得△EPA≌△FPC（ASA），則AE=CF，EP=FP，可判斷①正確；并且有△EPF是等腰直角三角形，可判斷②正確；四邊形AEPF的面積等于△APC的面積，即可得到2S_{四邊形AEPF}=S_△ABC，可判斷③正確；由等腰直角三角形的性質(zhì)有EF=PF，而只有F點(diǎn)為AC的中點(diǎn)時(shí)，AP=PF，即點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)時(shí)有EF=AP，于是可判斷④不一定正確．
解答：解：當(dāng)∠EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有3個(gè)．
理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵P為邊BC的中點(diǎn)，
∴AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，
∴∠EAP=∠FCP，
又∵∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°，
∴∠EPA=∠FPC，
在△EPA和△FPC中

∴△EPA≌△FPC（ASA），
∴AE=CF，EP=FP，所以①正確；
∴△EPF是等腰直角三角形，所以②正確；
∴四邊形AEPF的面積等于△APC的面積，
∴2S_{四邊形AEPF}=S_△ABC，所以③正確；
又∵EF=PF，
而只有F點(diǎn)為AC的中點(diǎn)時(shí)，AP=PF，
即點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)時(shí)有EF=AP，所以④不一定正確．
所以當(dāng)∠EPF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有①②③，共3個(gè)．
故答案為3．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．