Question

四邊形ABCD和CEFH都是正方形，連接AE，M是AF中點，連接DM和EM．

（1）如圖①，當點B、C、H在一條直線上時，線段DM與EM的位置關系是______，=______；
（2）如圖②，當點B、C、F在一條直線上時，（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．

Answer 1

（1）解：延長DM交EF于點N，
∵四邊形ABCD和CEFH都是正方形，
∴AD=CD，CE=EF，AD∥EF，∠CEF=90°．
∴∠AFN=∠DAF，
∵M是AF中點，
∴AM=FM．
在△ADM和△FNM中，
，
∴AD=FN．DM=MN，
∴CD=NF，
∴CE-CD=EF-NF，
即ED=EN．
∴EM⊥DN，
∵∠CEF=90°，
∴EM=DN．
∵DM=DN，
∴EM=DM．
∴DM：EM=1
故答案為：DM⊥EM，1；
（2）結論仍然成立．
證明：延長DM交BF于點N，連接ED、EN，
∵四邊形ABCD、ECHF都是正方形，
∴AD=DC，EC=EF，AD∥BC，
∠DCB=∠CEF=90°，∠1=∠EFC=45°．
∴∠DAM=∠NFM．
∵M是AF的中點，∴AM=FM．
在△AMD和△FMN中，
，
∴△AMD≌△FMN（ASA）．
∴AD=FN，DM=NM．
又∵AD=DC，∴DC=FN．
∵點B、C、F在一條直線上，∠1=45°，∠DCB=90°，
∴∠2=45°．
∴∠2=∠EFC．
在△EDC和△ENF中，
，
∴△EDC≌△ENF（SAS）．
∴ED=EN，∠3=∠4．
∴∠3+∠CEN=∠4+∠CEN=∠CEF=90°，即∠DEN=90°．
∵ED=EN，DM=NM，
∴DM⊥EM．
∴DM=EM．
∴．
分析：（1）延長DM交EF于點N，通過證明三角形全等可以得出可以得出AD=NF，DM=NM，可以求出EN=ED，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質可以得出EM⊥DM，DM：EM的值為1；
（2）延長DM交BF于點N，連接ED、EN，先證明△AMD≌△FMN可以得出AD=FN，DM=NM，再證明△EDC≌△ENF就可以得出ED=EN，∠3=∠4，可以得出∠DEN=90°，由等腰直角三角形的性質就可以得出結論．
點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，等腰直角三角形的性質的運用，解答本題的關鍵是作輔助線證明三角形全等．