【題目】(10分)已知∠MAN=135°,正方形ABCD繞點A旋轉.
(1)當正方形ABCD旋轉到∠MAN的外部(頂點A除外)時,AM,AN分別與正方形ABCD的邊CB,CD的延長線交于點M,N,連接MN.
①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關系是 ;
②如圖2,若BM≠DN,請判斷①中的數(shù)量關系是否仍成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;
(2)如圖3,當正方形ABCD旋轉到∠MAN的內部(頂點A除外)時,AM,AN分別與直線BD交于點M,N,探究:以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是何種三角形,并說明理由.
【答案】(1)①MN=BM+DN;②成立;(2)直角三角形.
【解析】試題(1)①如圖1,先證明△ADN≌△ABM,得到AN=AM,∠NAD=∠MAB,得到∠NAD=∠MAB=67.5°.作AE⊥MN于E,由等腰三角形三線合一的性質得出MN=2NE,∠NAE=67.5°.再證明△ADN≌△AEN,得出DN=EN,進而得到MN=BM+DN;
②如圖2,先證明△ABM≌△ADP,得出AM=AP,∠1=∠2=∠3,再計算出∠PAN=135°.然后證明△ANM≌△ANP,得到MN=PN,進而得到MN=BM+DN;
(2)如圖3,將△ABM繞點A逆時針旋轉90°,得到△ADE,連結NE.由旋轉的性質得到DE=BM,AE=AM,∠EAM=90°,∠NDE=90°. 先證明△AMN≌△AEN.得到MN=EN.由DN,DE,NE為直角三角形的三邊,得到以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.
試題解析:(1)①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關系是MN=BM+DN.理由如下:
在△ADN與△ABM中,∵AD=AB,∠ADN=∠ABM,DN=BM,∴△ADN≌△ABM(SAS),∴AN=AM,∠NAD=∠MAB,∵∠MAN=135°,∠BAD=90°,∴∠NAD=∠MAB=(360°﹣135°﹣90°)=67.5°,作AE⊥MN于E,則MN=2NE,∠NAE=∠MAN=67.5°.在△ADN與△AEN中,∵∠ADN=∠AEN,∠NAD=∠NAE,AN=AN,∴△ADN≌△AEN(AAS),∴DN=EN,∵BM=DN,MN=2EN,∴MN=BM+DN.故答案為:MN=BM+DN;
②如圖2,若BM≠DN,①中的數(shù)量關系仍成立.理由如下:
延長NC到點P,使DP=BM,連結AP.∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABM=∠ADC=90°.在△ABM與△ADP中,∵AB=AD,∠ABM=∠ADP,BM=DP,∴△ABM≌△ADP(SAS),∴AM=AP,∠1=∠2=∠3,∵∠1+∠4=90°,∴∠3+∠4=90°,∵∠MAN=135°,∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣(∠3+∠4)=360°﹣135°﹣90°=135°.在△ANM與△ANP中,∵AM=AP,∠MAN=∠PAN,AN=AN,∴△ANM≌△ANP(SAS),∴MN=PN,∵PN=DP+DN=BM+DN,∴MN=BM+DN;
(2)以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.理由如下:
如圖3,將△ABM繞點A逆時針旋轉90°,得到△ADE,連結NE.由旋轉的性質得:DE=BM,AE=AM,∠EAM=90°,∠NDE=90°. ∵∠MAN135°,∴∠EAN360°∠MAN∠EAM =135°,∴∠EAN =∠MAN.在△AMN與△AEN中,∵AM=AE,∠MAN=∠EAN,AN=AN,∴△AMN≌△AEN.∴MN=EN.∵DN,DE,NE為直角三角形的三邊,∴以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線BC:,直線BD與x軸交于點A,點B(2,3),點D(0,).
(1)求直線BD的函數(shù)解析式;
(2)在y軸上找一點P,使得△ABC與△ACP的面積相等,求出點P的坐標;
(3)如圖2,E為線段AC上一點,連結BE,一動點F從點B出發(fā),沿線段BE以每秒1個單位運動到點E再沿線段EA以每秒個單位運動到A后停止,設點F在整個運動過程中所用時間為t,求t的最小值.
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【題目】如圖,對稱軸為直線的拋物線與軸交于、兩點,與軸交于點,其中點的坐標為
求該拋物線的解析式;
若點在拋物線上,且,求點的坐標;
設點是線段上的動點,作軸交拋物線于點,求線段長度的最大值.
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【題目】如圖,△ABC在正方形的網格中,若點A的坐標為(﹣1,1),點B的坐標為(﹣2,0).
按要求回答下列問題:
(1)在圖中建立正確的平面直角坐標系;
(2)根據(jù)所建立的坐標系,直接寫出點C的坐標 ( , );
(3)作出三角形ABC關于y軸對稱的三角形A1B1C1;
(4)求△ABC的周長.
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【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為6,E,F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°,將△DAE繞點D逆時針旋轉90°,得到△DCM.
(1)求證:EF=MF;
(2)若AE=2,求FC的長.
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【題目】一般地,“任意三角形都是自相似圖形”,只要順次連接三角形各邊中點,則可將原三角形分割為四個都與它自己相似的小三角形.我們把(圖乙)第一次順次連接各邊中點所進行的分割,稱為階分割(如圖);把階分割得出的個三角形再分別順次連接它的各邊中點所進行的分割,稱為階分割(如圖)…,依此規(guī)則操作下去.階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形(為正整數(shù)),設此時小三角形的面積為.請寫出一個反映,,之間關系的等式________.
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【題目】一般地,“任意三角形都是自相似圖形”,只要順次連接三角形各邊中點,則可將原三角形分割為四個都與它自己相似的小三角形.我們把(圖乙)第一次順次連接各邊中點所進行的分割,稱為階分割(如圖);把階分割得出的個三角形再分別順次連接它的各邊中點所進行的分割,稱為階分割(如圖)…,依此規(guī)則操作下去.階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形(為正整數(shù)),設此時小三角形的面積為.請寫出一個反映,,之間關系的等式________.
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【題目】“端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié),民間歷來有吃“粽子”的習俗.南方某食品廠為了解市民對去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A、B、C、D表示)這四種不同口味粽子的喜愛情況,在節(jié)前對某居民區(qū)市民進行了抽樣調査,毎人必選一種且只能選一種口味,并將調査情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖(尚不完整):
請根據(jù)以上信息冋答:
(1)本次參加抽樣調查的居民有多少人?
(2)將兩幅不完整的圖補充完整;
(3)求扇形統(tǒng)計圖中C所對圓心角的度數(shù).
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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線AB與軸交于點A,與軸交于點B,與直線OC:交于點C.
(1)若直線AB解析式為,
①求點C的坐標;
②求△OAC的面積.
(2)如圖2,作的平分線ON,若AB⊥ON,垂足為E, OA=4,P、Q分別為線段OA、OE上的動點,連結AQ與PQ,試探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,說明理由.
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