Question

【題目】如圖(1)，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，點O是AC邊上的一點，連接BO交AD于點F，OE⊥OB交BC邊于點E．

(1)試說明：△ABF∽△COE．

(2)如圖(2)，當O為AC邊的中點，且時，求的值．

(3)當O為AC邊的中點，時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】詳見解析； (3)

【解析】

（1）要求證：△ABF∽△COE.只要證明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．
（2）作交BC于H，易證：△OEH∽△OFA，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可得出所求的值．同理可得（3）

(1)證明：∵AD⊥BC，

∴

∵

∴∠BAF=∠C.

∵OE⊥OB，

∴

∵

∴∠ABF=∠COE.

∴△ABF∽△COE.

(2)過O作AC垂線交BC于H,則OHAB，

由(1)得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C.

∴∠AFB=∠OEC，

∴∠AFO=∠HEO，

而∠BAF=∠C，

∴∠FAO=∠EHO，

∴△OEH∽△OFA，

∴OF:OE=OA:OH

又∵O為AC的中點,OHAB.

∴OH為△ABC的中位線，

∴

而

∴OA:OH=2:1，

∴OF:OE=2:1,即

(3)