【題目】如圖,拋物線y=-x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn),其中點(diǎn)C在y軸上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,).點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時(shí),以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?請(qǐng)說明理由.

(3)若存在點(diǎn)P,使∠PCF=45°,請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1y=-x2+x+2.21,2或;3,)或().

【解析】

試題分析:(1)首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

(2)本問采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解.將直線y=x+2沿y軸向上或向下平移2個(gè)單位之后得到的直線,與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn),即為所求之交點(diǎn).由答圖1可以直觀地看出,這樣的交點(diǎn)有3個(gè).聯(lián)立解析式解方程組,即可求出m的值;

(3)本問符合條件的點(diǎn)P有2個(gè),如答圖2所示,注意不要漏解.在求點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候,需要充分挖掘已知條件,構(gòu)造直角三角形或相似三角形,解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析:(1)在直線解析式y(tǒng)=x+2中,令x=0,得y=2,

∴C(0,2).

∵點(diǎn)C(0,2)、D(3,)在拋物線y=-x2+bx+c上,

,

解得b=,c=2,

∴拋物線的解析式為:y=-x2+x+2.

(2)∵PF∥OC,且以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

∴PF=OC=2,

∴將直線y=x+2沿y軸向上、下平移2個(gè)單位之后得到的直線,與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn),即為所求之交點(diǎn).

由圖1可以直觀地看出,這樣的交點(diǎn)有3個(gè).

將直線y=x+2沿y軸向上平移2個(gè)單位,得到直線y=x+4,

聯(lián)立,

解得x1=1,x2=2,

∴m1=1,m2=2;

將直線y=x+2沿y軸向下平移2個(gè)單位,得到直線y=x,

聯(lián)立,

解得x3=,x4=(在y軸左側(cè),不合題意,舍去),

∴m3=

∴當(dāng)m為值為1,2或時(shí),以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

(3)存在.

理由:設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則P(m,-m2+m+2),F(xiàn)(m,m+2).

如圖2所示,過點(diǎn)C作CM⊥PE于點(diǎn)M,則CM=m,EM=2,

∴FM=yF-EM=m,

∴tan∠CFM=2.

在Rt△CFM中,由勾股定理得:CF=m.

過點(diǎn)P作PN⊥CD于點(diǎn)N,

則PN=FNtan∠PFN=FNtan∠CFM=2FN.

∵∠PCF=45°,

∴PN=CN,

而PN=2FN,

∴FN=CF=m,PN=2FN=m,

在Rt△PFN中,由勾股定理得:PF=m.

∵PF=yP-yF=(-m2+m+2)-(m+2)=-m2+3m,

∴-m2+3m=m,

整理得:m2-m=0,

解得m=0(舍去)或m=,

∴P();

同理求得,另一點(diǎn)為P(,).

∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)或().

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