Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說明理由．

（3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF=45°，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+2．（2）1，2或;（3）（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）本問采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解．將直線y=x+2沿y軸向上或向下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；

（3）本問符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)，如答圖2所示，注意不要漏解．在求點(diǎn)P坐標(biāo)的時(shí)候，需要充分挖掘已知條件，構(gòu)造直角三角形或相似三角形，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+2中，令x=0，得y=2，

∴C（0，2）．

∵點(diǎn)C（0，2）、D（3，）在拋物線y=-x2+bx+c上，

∴，

解得b=，c=2，

∴拋物線的解析式為：y=-x2+x+2．

（2）∵PF∥OC，且以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴PF=OC=2，

∴將直線y=x+2沿y軸向上、下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．

由圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．

將直線y=x+2沿y軸向上平移2個(gè)單位，得到直線y=x+4，

聯(lián)立，

解得x1=1，x2=2，

∴m1=1，m2=2；

將直線y=x+2沿y軸向下平移2個(gè)單位，得到直線y=x，

聯(lián)立，

解得x3=，x4=（在y軸左側(cè)，不合題意，舍去），

∴m3=．

∴當(dāng)m為值為1，2或時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

（3）存在．

理由：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，-m2+m+2），F(xiàn)（m，m+2）．

如圖2所示，過點(diǎn)C作CM⊥PE于點(diǎn)M，則CM=m，EM=2，

∴FM=yF-EM=m，

∴tan∠CFM=2．

在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．

過點(diǎn)P作PN⊥CD于點(diǎn)N，

則PN=FNtan∠PFN=FNtan∠CFM=2FN．

∵∠PCF=45°，

∴PN=CN，

而PN=2FN，

∴FN=CF=m，PN=2FN=m，

在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF=m．

∵PF=yP-yF=（-m2+m+2）-（m+2）=-m2+3m，

∴-m2+3m=m，

整理得：m2-m=0，

解得m=0（舍去）或m=，

∴P（，）；

同理求得，另一點(diǎn)為P（，）．

∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．