Question

在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，其頂點的橫坐標為1，且過點（2，3）和（-3，-12）．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）若直線l：y=kx（k≠0）與線段BC交于點D（不與點B，C重合），則是否存在這樣的直線l，使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似？若存在，求出該直線的函數表達式及點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P是位于該二次函數對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角∠PCO與∠ACO的大小（不必證明），并寫出此時點P的橫坐標x_p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的頂點橫坐標為1，即x=-=1，將已知的兩點坐標代入拋物線中，聯立三式即可求出拋物線的解析式．
（2）本題要分兩種情況討論：△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，解題思路都是通過相似三角形得出的關于BD、BC、BO、BA的比例關系式求出BD的長，然后根據∠OBC=45°的特殊條件用BD的長求出D點的坐標．
（3）本題求解的關鍵是找出幾個特殊位置．
①由于∠PCO是銳角，因此要先找出∠PCO是直角時的值，以此來確定P的大致取值范圍．去C關于拋物線對稱軸的對稱點C′（2，3），那么當P、C′重合時，∠PCO=90°，因此∠PCO若為銳角，則P點的橫坐標必大于2．
②當∠PCO=∠ACO時，根據A點的坐標和拋物線對稱軸的解析式可知：∠ACO=∠ECO，因此直線CE與拋物線的交點（除C外）就是此時P點的位置．據此可求出此時P點的橫坐標．
根據上面兩種情況進行判定即可．
解答：解：（1）∵二次函數圖象頂點的橫坐標為1，且過點（2，3）和（-3，-12），
∴由
解得．
∴此二次函數的表達式為y=-x²+2x+3．

（2）假設存在直線l：y=kx（k≠0）與線段BC交于點D（不與點B，C重合），使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似．
在y=-x²+2x+3中，令y=0，則由-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
設過點O的直線l交BC于點D，過點D作DE⊥x軸于點E．
∵點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），點A的坐標為（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|==3．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，則只需，①或②成立．
若是①，則有|BD|===．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|²+|DE|²=2|BE|²=|BD|²=（）²．
解得|BE|=|DE|=（負值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-=．
∴點D的坐標為（，）．
將點D的坐標代入y=kx（k≠0）中，求得k=3．
∴滿足條件的直線l的函數表達式為y=3x．
或求出直線AC的函數表達式為y=3x+3，則與直線AC平行的直線l的函數表達式為y=3x．
此時易知△BOD∽△BAC，再求出直線BC的函數表達式為y=-x+3．聯立y=3x，y=-x+3求得點D的坐標為（，）．
若是②，則有|BD|===2．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|²+|DE|²=2|BE|²=|BD|²=（2）²．
解得|BE|=|DE|=2（負值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
∴點D的坐標為（1，2）．
將點D的坐標代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
∴滿足條件的直線l的函數表達式為y=2x．
∴存在直線l：y=3x或y=2x與線段BC交于點D（不與點B，C重合），
使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似，且點D的坐標分別為（，）或（1，2）．

（3）設過點C（0，3），E（1，0）的直線y=kx+3（k≠0）與該二次函數的圖象交于點P．
將點E（1，0）的坐標代入y=kx+3中，
求得k=-3．
∴此直線的函數表達式為y=-3x+3．
設點P的坐標為（x，-3x+3），
并代入y=-x²+2x+3，得x²-5x=0．
解得x₁=5，x₂=0（不合題意，舍去）．
∴x=5，y=-12．
∴點P的坐標為（5，-12）．
此時，銳角∠PCO=∠ACO．
又∵二次函數的對稱軸為x=1，
∴點C關于對稱軸對稱的點C'的坐標為（2，3）．
∴當x_p＞5時，銳角∠PCO＜∠ACO；
當x_p=5時，銳角∠PCO=∠ACO；
當2＜x_p＜5時，銳角∠PCO＞∠ACO．
點評：本題是二次函數綜合體，考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定、函數圖象交點等知識點．綜合性強．