Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，其中點A在y軸上，點B坐標為（﹣4，﹣5），點P為y軸左側的拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交AB于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）以O，A，P，D為頂點的平行四邊形是否存在？如存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

（3）當點P運動到直線AB下方某一處時，過點P作PM⊥AB，垂足為M，連接PA使△PAM為等腰直角三角形，請直接寫出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，），（﹣1，），（﹣3，）；（3）P（，）．

【解析】

試題分析：（1）先確定出點A坐標，然后用待定系數法求拋物線解析式；

（2）先用m表示出PD，當PD=OA=3，故存在以O，A，P，D為頂點的平行四邊形，得到，分兩種情況進行討論計算即可；

（3）由△PAM為等腰直角三角形，得到∠BAP=45°，從而求出直線AP的解析式，最后求出直線AP和拋物線的交點坐標即可．

試題解析：（1）∵直線交于A、B兩點，其中點A在y軸上，∴A（0，﹣3），∵B（﹣4，﹣5），∴，∴，∴拋物線解析式為；

（2）存在，設P（m，），（m＜0），∴D（m，），∴PD=．

∵PD∥AO，∴當PD=OA=3，故存在以O，A，P，D為頂點的平行四邊形，∴；

①當時，∴=，=（舍），∴=，∴P（，）；

②當時，∴=﹣1，=﹣3．

Ⅰ、m1=﹣1，∴=，∴P（﹣1，）；

Ⅱ、m2=﹣3，∴=，∴P（﹣3，）；

∴點P的坐標為（，），（﹣1，），（﹣3，）；

（3）如圖，∵△PAM為等腰直角三角形，∴∠BAP=45°，∵直線AP可以看做是直線AB繞點A逆時針旋轉45°所得，設直線AP解析式為y=kx﹣3，∵直線AB解析式為，∴k==3，∴直線AP解析式為y=3x﹣3，聯立：，∴=0（舍），=；

當x=時，y=，∴P（，）．