Question

如圖，拋物線y=-2x²+x+1交y軸于點A，交x軸正半軸于點B．P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交過點B垂直于x軸的直線于點C．過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交過點B垂直于x軸的直線于點N．
（1）求線段AB長；
（2）證明：OP=PC；
（3）當點P在第一象限時，設AP長為m，△OBC的面積為S，請求出S與m間的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=1上移動，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，易求得A、B的坐標，利用勾股定理即可求得AB的長．
（2）首先根據(jù)A、B的坐標，求出直線AB的解析式，設出點P的橫坐標，利用直線AB的解析式，即可表示出P點的縱坐標，由此可得到MP、OM、PN的長，從而證得OM=PN，而∠OPC=90°，則∠OPM、∠PCN同為∠CPN的余角，再加上一組直角，即可由AAS判定△OPM≌△PCN，由此得證．
（3）由（2）的全等三角形知PM=CN，由此可求得BC的表達式，OB的長易求得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到S、m的函數(shù)關系式．（需注意的是，自變量的取值范圍會影響到PM的表達式，因此要分類討論）
（4）此題應分三種情況討論：
①P為等腰三角形的頂角頂點，由于∠PBN=45°，若PC=PB，那么CP⊥PB，顯然不符合題意；
②C為等腰三角形的頂角頂點，此時PC=BC，由于△OAB是等腰直角三角形，因此P、A重合時，△PCB也是等腰直角三角形，故A點符合點P的要求；
③B為等腰三角形的頂角頂點，此時PB=BC；當C點在第一象限時，顯然不存在這樣的P點，故此時C點必在第四象限，首先設出點P的坐標，表示出AP、PB、BC的長，根據(jù)所得等量關系，即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）拋物線y=-2x²+x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，得x=-

1

2

，x=1；
故A（0，1），B（1，0）；
∴AB=

2

．（2分）

（2）∵A（0，1），B（1，0），
∴直線AB：y=-x+1；
設P（a，-a+1），則有：
PM=a，OM=1-a，PN=MN-PM=1-a，
故OM=PN；
∵∠OPC=90°，則∠OPM+∠CPN=∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠OPM=∠PCN；
又∵∠OMP=∠CPN=90°，OM=PN，
∴△OPM≌△PCN，
∴OP=CP．（5分）

（3）易知OA=OB=1，則∠OBA=∠OAB=45°；
若AP=m，則PM=AM=CN=

2

2

m，OM=BN=1-

2

2

m，
①當0＜m＜

2

2

時，BC=BN-NC=1-

2 m

2

-

2 m

2

=1-

2

m，
故S=

1- 2 m

2

；（7分）
②當

2

2

＜m＜

2

時，BC=CN-BN=

2 m

2

-（1-

2 m

2

）=

2

m-1，
故S=-

1- 2 m

2

．（9分）

（4）假設存在符合條件的P點；
①△PCB以P為頂角頂點，此時點C位于第一象限；
由于∠PBN=45°，若PC=PB，則∠CPB=90°，顯然不合題意；
②△PCB以C為頂角頂點；
由于△OAB是等腰直角三角形，當P、A重合時，△PCB也是等腰直角三角形，
故A點符合P點的要求，即P（0，1）；
③△PBC以B為頂角頂點；
當C點在第一象限時，PB＞BC，若PB=BC，則C點必在第四象限；
設P（a，1-a），則AP=

2

a，PB=

2

（1-a），BC=CN-BN=a-（1-a）=2a-1；
若PB=BC，則2a-1=

2

-

2

a，
解得a=

2

2

，
故P（

2

2

，1-

2

2

）；
綜上所述，存在符合條件的P點，且坐標為P（0，1）或（

2

2

，1-

2

2

）．（12分）

點評：此題主要考查了拋物線與坐標軸交點坐標的求法、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質、等腰三角形的構成條件等知識．（4）題中，由于等腰三角形的腰和底不確定，一定要分類討論，以免漏解．