Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=．如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)P的速度為2cm/s，點(diǎn)Q的速度為1cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤5）

（1）求AC，BC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為△ABC面積的；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似．

Answer 1

【答案】（1）AC=8cm，BC=6cm；（2）當(dāng)t為1s或4s時(shí)，△APQ的面積為△ABC面積的；（3）當(dāng)t為s或s時(shí)，△APQ與△ABC相似．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正弦的定義和勾股定理求出AC，BC的長(zhǎng)；

（2）作PE⊥AC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用t表示出PE，根據(jù)三角形的面積公式和題意列出方程，解方程即可；

（3）分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．

解：（1）∵Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=，

∴=，

∴BC=6cm，

則AC==8cm，

∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）作PE⊥AC于E，

由題意得，BP=2tcm，AQ=tcm，

則AP=（10﹣2t）cm，

∵PE∥BC，

∴=，即=，

解得，PE=6﹣t，

∴△APQ的面積=×t×（6﹣t），△ABC面積=×6×8=24，

由題意得，×t×（6﹣t）=×24，

解得，t1=1，t2=4，

則當(dāng)t為1s或4s時(shí)，△APQ的面積為△ABC面積的；

（3）當(dāng)△APQ∽△ABC時(shí)，=，即=，

解得，t=，

當(dāng)△APQ∽△ACB時(shí)，=，即=，

解得，t=，

故當(dāng)t為s或s時(shí)，△APQ與△ABC相似．