Question

已知雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

4

x相交于A、B兩點(diǎn)．第一象限上的點(diǎn)M（m，n）（在A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線y=

k

x

上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)B作BD∥y軸交x軸于點(diǎn)D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線y=

k

x

于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C．
（1）若點(diǎn)D坐標(biāo)是（-8，0），求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及k的值；
（2）若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式；
（3）設(shè)直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點(diǎn)，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

Answer 1

分析：（1）將D的坐標(biāo)可得B的橫坐標(biāo)，代入解析式可得B的坐標(biāo)，又有A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，易得k的值；
（2）根據(jù)題意B是CD的中點(diǎn)，A、B、M、E四點(diǎn)均在雙曲線上，可得BCD的坐標(biāo)關(guān)于mn的表達(dá)式，進(jìn)而可以表示出矩形的面積；代入數(shù)據(jù)可得答案；
（3）分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁、M₁，設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-a，易得pq關(guān)于a的關(guān)系式，作p-q可得p-q=

a-m

m

-

m+a

m

=-2．

解答：解：（1）∵D（-8，0），
∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，-2），
而A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴A（8，2），
∴k=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中點(diǎn)，A、B、M、E四點(diǎn)均在雙曲線上，
∴mn=k，B（-2m，-

n

2

），C（-2m，-n），E（-m，-n），
∴S_矩形DCNO=2mn=2k，
∴S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k，
∴k=4，
由直線y=

1

4

x及雙曲線y=

4

x

，得A（4，1），B（-4，-1），
∴C（-4，-2），M（2，2），
設(shè)直線CM的解析式是y=ax+b，
由C、M兩點(diǎn)在這條直線上，得

-4a+b=-2 2a+b=2

，
解得a=b=

2

3

，
∴直線CM的解析式是y=

2

3

x+

2

3

；

（3）如圖1，分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁、M₁，
設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-a，
于是p=

MA

MP

=

A1M1

M1O

=

a-m

m

，
同理q=

MB

MQ

=

m+a

m

，
∴p-q=

a-m

m

-

m+a

m

=-2．
本題也可用相似求解，如圖，酌情給分．

點(diǎn)評：此題綜合考查了反比例函數(shù)，正比例函數(shù)等多個(gè)知識點(diǎn)此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對各個(gè)知識點(diǎn)的靈活應(yīng)用．