如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H．
（1）求證：CF=CH；
（2）如圖2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結論．

【答案】分析：（1）要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；
（2）根據△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，由AC=CD判斷出四邊形ACDM是菱形．
解答：（1）證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．
在△BCF和△ECH中，，
∴△BCF≌△ECH（ASA），
∴CF=CH（全等三角形的對應邊相等）；

（2）解：四邊形ACDM是菱形．
證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=45°．
∵∠E=45°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°-∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四邊形ACDM是平行四邊形（兩組對角相等的四邊形是平行四邊形），
∵AC=CD，
∴四邊形ACDM是菱形．
點評：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據已知條件來確定．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

23、如圖1，在△ABC和△DEF中，AC∥DE，∠EFD與∠B互補，DE=kAC（k＞1）．試探索線段EF與AB的數(shù)量關系，并證明你的結論．
說明：如果你反復探索沒有解決問題，可以選取k=1（圖2）來證明，此時滿分7分．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•濟南）（1）如圖1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且點B，C，E在一條直線上．
求證：∠A=∠D．
（2）如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)學活動課上，甲、乙兩位同學在研究一道數(shù)學題：“已知：如圖1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，∠B=50°，∠E=32°，且BC=EF．試畫直線m，l，使直線m將△ABC分成的兩個小三角形與直線l將△DEF分成的兩個小三角形分別相似，并標出每個小三角形各內角的度數(shù)．”
甲同學是這樣做的：如圖2，使得兩個直角三角形的斜邊重合，以斜邊中點0為圓心，OB長為半徑作出輔助圓，根據到定點的距離等于定長的點在圓上，可知A、B（E）、C（F）、D在⊙0上．設BD所在的直線m與AC所在的直線l交于點G，根據同弧所對的圓周角相等，由∠ABC=50°，∠DEF=32°，易求得∠ABG=DFG=18°，再由∠A=∠D=90°，可求得∠AGB=∠DGF=72°，∠GCB=40°，∠BGC=108°，從而△AGB∽△DGF．△GBC∽△GEF．
乙同學在甲同學的啟發(fā)下，利用輔助圓又補充了其它分割方法．
你看明白甲同學的分割方法了嗎？請你仿照甲同學的方法，把這道題其它的所有分割方法補充完整．
要求：不需寫解答過程．如圖2所示．利用輔助圓畫出示意圖，標明直線及每個小三角形各內角的度數(shù)即可．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB與CE交于F，ED與AB、BC分別交于M、H．
（1）試說明CF=CH；
（2）如圖2，△ABC不動，將△EDC從△ABC的位置繞點C順時針旋轉，當旋轉角∠BCD為多少度時，四邊形ACDM是平行四邊形，請說明理由；
（3）當AC=
2
時，在（2）的條件下，求四邊形ACDM的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，∠CAB+∠BDE=180°，∠CAB=α，P為CE的中點，連接AP、DP．若α=120°，探究線段AP、DP的關系．
說明：如果你經過反復探索沒有解決問題，可以更改條件將“α=120°”改為“α=90°”，選取圖2完成證明得10分．

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