Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點O在邊AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓經過點C，過點C作直線MN，使∠BCM=2∠A．

（1）判斷直線MN與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：MN是⊙O切線．

理由：連接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，

∴∠BCM=∠BOC，

∵∠B=90°，

∴∠BOC+∠BCO=90°，

∴∠BCM+∠BCO=90°，

∴OC⊥MN，

∴MN是⊙O切線．

（2）解：由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，

∴∠AOC=120°，

在Rt△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，

∴BO= OC=2，BC=2

∴S陰=S扇形OAC﹣S△OAC= ﹣ = ﹣4 ．

【解析】（1）要證直線MN與⊙O的切線，連接OC．易證∠BOC=2∠A，由∠BCM=2∠A，得出∠BOC=∠BCM，在Rt△OBC中，根據直角三角形兩銳角互余，可推出OC⊥MN，即可得出結論。
（2）先求出∠AOC的度數，在Rt△BCO中，利用解直角三角形求出BO、BC的長，根據S陰=S扇形OAC﹣S△OAC，即可求出陰影部分的面積。